矢量分析与场论1

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1、电磁场与电磁波理论基础电磁场的基本定律静电场和恒定电流电场恒定电流的磁场静态电磁场边值问题的解法时变电磁场平面电磁波导行电磁波电磁波的辐射矢量分析与场论标量场和矢量场矢量的标积和矢积三种正交坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理量的场。如温度场,电位场,高度场等是标量场；流速场，电场，涡流场等是矢量场.例如,在直角坐标下，任一场量一.标量场和矢量场数学中，场是以空间坐标及时间为变量的函数.如电势，电场强度，磁感应强度，电位移，磁场强度.直角(x,y,z)zxyz=z0x=x0y=y0P0O二.正交坐标

2、系圆柱(r,,z)yzxP00=0r=r0z=z0O球(r,,)xzy=000r=r0=0P0O三.矢量的标积和矢积1.标积（点积）2.矢积（叉积）（和满足右手螺旋）注意1）两矢量的标积结果是标量，矢积结果是矢量.2）标积满足交换律矢积不满足交换率（因为和方向相反）3）另外：四.标量场的梯度1.等值面2.定义在空间任意靠近两点函数的全微分在空间某点的任意方向上，导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度：例电位场的梯度与过该点的等位线垂直；指向电位增加的方向。数值等于该点的最大方向导数；3.梯度的物理意义梯度的大小为该点标量函数的最大变

3、化率，即该点最大方向导数；标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）垂直的方向，它指向函数的增加方向.4.哈米顿（W.R.Hamilton）算子（矢性微分算子）“”算子运算规则“”算子常见公式C为常数五.矢量场的散度1.通量电场强度通量磁感应强度通量(无源)(有负源)(有正源)若S为闭合曲面,可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质：如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即可以证明：2.定义散度(divergence)即：散度是通过包围单位体积闭合面的通量，即场中一点处通量对体积的

4、变化率，即该点处源的强度.散度运算的基本公式散度代表矢量场的通量源的分布特性矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；3.散度的物理意义(正源)(负源)(无源)在矢量场中，若，称之为有源场，称为（通量）源密度；若矢量场，称之为无源场.4.高斯公式(散度定理)矢量函数的面积分与体积分的互换.由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量该公式表明了区域V中场与边界S上场之间的关系.高斯公式六.矢量场的旋度1.环量水流沿平行于水管轴线方向流动=0，无涡旋运动流体做涡旋运动0，有产生涡旋的源大学物理中学过的安培环路定理：例：流速场取不同的路径

5、，其环量密度不同2.定义过点P作一微小曲面S，它的边界曲线记为,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当S点P时,存在极限旋度(curl)注意：旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向.它与环量密度的关系为：环量密度可以证明：旋度运算的基本公式3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数.点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值.点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向.4.斯托克斯(Stockes)定理矢量函数的线积分与面积分的互换在矢量场中，若,称之为旋度场（或涡旋场），J称为旋度源（或涡旋源）；若矢量场处处都是，称之为无旋场.是环量密度

6、，即围绕单位面积环路上的环量.因此，其面积分后，环量为该公式表明区域S中场与边界上的场之间的关系Stocke’s定理补充三种坐标系中的梯度、散度、旋度梯度直：柱：球：散度直：柱：球：旋度球：直：柱：