直线的倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)2

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1、[读教材·填要点]1．直线的倾斜角(1)倾斜角的概念．在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按方向绕着交点旋转到和直线l所成的角，叫作直线l的倾斜角．(2)倾斜角的取值范围．直线的倾斜角α的取值范围是.当直线l和x轴平行时，倾斜角为0°.逆时针重合0°≤α<180°2．斜率的概念及斜率公式定义把一条直线的倾斜角不等于90°的角α的叫做这条直线的斜率，通常用k表示，即k＝取值范围当α＝0°时，k0当0°＜α＜90°时，k0当90°＜α＜180°时，k0当α＝90°时，斜率正

2、切值tanα＝＞＜不存在[小问题·大思维]1．由直线倾斜角的大小能确定直线的位置吗？提示：只由直线的倾斜角不能确定直线的位置，因为倾斜角只反映了直线相对x轴的倾斜程度．2．“斜率是倾斜角的正切值”这句话对吗？提示：不对.90°角的正切值是不存在的．3．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？这句话是不对的，当倾斜角α＝0°时，k＝0；提示：当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大．4．过两点P1

3、(x1，y1)和P2(x2，y2)且x1＝x2时直线的倾斜角和斜率怎样？提示：当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，倾斜角α＝90°，其斜率不存在．[研一题][例1]一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α[自主解答]如下图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.[答案]D若把条件改为“直线向

4、上的方向与x轴的负方向所成的角为α”其它不变，结论将如何？解析：通过画图可知．当α为锐角时，l的倾斜角为180°－α.当α为钝角时，l的倾斜角为180°－α.当α为90°角时，l的倾斜角为90°.答案：B[悟一法]求直线的倾斜角主要是根据定义来求，解题的关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况讨论，讨论的常见情形有：①0°角；②锐角；③90°角；④钝角．[通一类]1．设直线l1与x轴的交点为P，且倾斜角为α，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线l2的倾斜角为α＋45°，试求α的取

5、值范围．解：由于直线l1与x轴相交，可知α≠0°，又α与α＋45°都是直线的倾斜角，∴0°＜α＜180°且0°≤α＋45°＜180°，解得0°＜α＜135°.[研一题][悟一法]1．在应用斜率公式求斜率时，要注意两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在，倾斜角是90°；若不相等，才能用斜率公式求斜率．2．数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)时，斜率由零逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到y轴

6、平行(或重合)时，斜率由零逐渐减小至－∞(斜率不存在)．这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．[通一类]2．已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)．(1)求直线l的斜率；(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值．[研一题][例3]已知三点A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)．求证：三点在同一条直线上．[悟一法]任意两点连线斜率相等，三点一定共线，反之三点共线任意两点连线的斜率不一定相等(可能都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存

7、在作出判断，必要时要先进行讨论，然后再下结论．[通一类]3．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．[错因]本题做错的原因是没有搞清斜率k与倾斜角α之间的关系．任意直线的倾斜角都存在，但当α＝90°时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角是90°.错解忽视了m＝7时，斜率不存在的情况．点击下列图片进入“课堂强化”点击下列图片进入“课下检测”