求隐函数偏导数的几种方法

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1、第27卷第5期贵州大学学报(自然科学版)V0l_27No．52010年1O月JournalofGuizhouUniversity(NaturalSciences)0ct．2010文章编号1000—5269(2010)05—0007—04求隐函数偏导数的几种方法雷安平(贵州轻工职业技术学院，贵州贵阳550003)摘要：本文讨论了一元隐函数、多元隐函数的存在条件及相关结论，给出隐函数求偏导数的直接法、公式法和全微分法等方法和相应的实例。关键词：隐函数；偏导数；方法中图分类号：0172．1文献标识码：A隐函数求偏导数是数学分析重要内容之一，它(1)F(x

2、，：，⋯，：，yO)=0；在数学的很多分支有广泛的应用(如数学物理方(2)在闭长方体D={(，，，)II，，一yOI≤b，l程，微分方程等)．利用它可以求平面曲线、空间曲一I≤口，i=1，2，⋯，n}j二，函数F(l，2，⋯，线的切线和曲面的切平面等．数学分析中只给出隐，Y)连续，且具有连续偏导数，，i=1，2，⋯，函数求偏导数的直接法和公式法，本文总结几种常／I,；用的隐函数求偏导数方法，便于隐函数求偏导数时(3)(，2，⋯，，，，)≠0，的应用．那么1隐函数存在定理](i)在点(，：，⋯，：)附近可以从函数方程定理1若二元函数F(x，Y)满足条

3、件F(1，2，⋯，，Y)=0(1)F(0，Yo)=0；惟一确定隐函数(2)在闭矩形D={(，Y)lJ一。I≤口，lY=。，：，⋯，)，(，，⋯，0)∈0((，Y—YoI≤b}上，F(x，y)连续，且具有连续偏导数：，⋯，0)，P)F

4、，F；它满足F(x1，2，⋯，1，2，⋯，))；0，(3)x。，Yo)≠0，以及yO=，，⋯，0)；那么(ii)隐函数Y=，：，⋯，)在(i)在点(。，)，o)附近可以从函数方程(?，：，⋯，：)∈D((，，⋯，)，p)上连续；F(y)=0，(iii)隐函数Y=，，：，⋯，)在惟一确定隐函数(，：，⋯，：)∈D((，：

5、，⋯，：)，p)上具有连续Y=)，∈O(xop)，的偏导数，且它满足F(x))=0，以及Yo=)；Oxi一(ii)隐函数Y=，()在∈O(x0，JD)上连续；畿(1，2，⋯，，)，)’‘1’2，’⋯“(iii)隐函数Y=)在EO(x。，p)上具有方程组确定的隐函数存在定理连续的导数，且定理3若函数G(，y，，口)=0和F(x，Y，，)=d(，Y)0满足条件(，)，)‘(1)F(xo，Yo，u0，)=0，G(0，Yo，／．L0，0)=多元隐函数存在定理0；定理2若n+1元函数F(x，，¨-，，Y)满足条(2)在闭长方体D={(，Y，，t，)Il一l≤

6、件口，I一)，oI≤b，IⅡ一l≤c，l一I≤d}上，收稿日期：2010—06—30作者简介：雷安平(1970一)，女，贵州黄平人，讲师，从事高等数学教学工作，Email：jk3289@sina．com．通讯作者：雷安平。Email：：jk3289@sina．COIl1．·8·贵州大学学报(自然科学版)第27卷函数F，G连续，且具有连续偏导数；(一)，，(3)在(o，Y0，u0，／3O)，Jacobi行列式一(—1)‘．，==l≠0'2．2公式法那么把确定的一元隐函数的方程写成F(，Y)=0(i)在点(，Yo，。，V0)的附近可以从函数方的形式后，

7、分别把，，，看成单独变量，从一元隐函程组数方程中求出(，Y)和(，Y)，再由定理1的rF(，Y，u，)=0，结论，来求该一元隐函数的导数，即有公式LC(，Y，，)=0．空：一一．‘(1)唯一确定向量值隐函数例2设In可=arctan上，求．(。。，解令F(，，，)=n(戈+，，2)一aLrctan÷，则它满足rF(x，Y，Y)，g(x，Y)=0，【G(，Yy，，，)，g(x，Y))=0．±#+Y’及=0=0，Yo)，口0g(x0，yo)；(ii)这个向量值隐函数在(，y)∈=。D((o，Yo)，p)上连续；南一南埒(iii)这个向量值隐函数在(，y

8、)∈利用公式(1)，有D((，yo)，p)上具有连续的导数，且一=一一=———dxFy一y’2．3微商法IL薹vl-,[一把一元隐函数F(x，Y)=0中变量，Y看成单3x3yJ等独变量，对确定一元隐函数方程F(x，Y)=0的两求隐函数偏导数的常用方法边同时对求x,y微分，再根据函数的微分与函数的2一元隐函数导数的关系，来求该一元隐函数的导数．2．1显化法例3设+ln(一考)=0，求)，·把一元隐函数F(，Y)=0化为显函数Y=)，()后，再利用显函数求导的方法，来求该一元隐解对方程。+In(，，一考)=0两边同时求微分得函数的导数，即耋==y2+一

9、l[d()一d(詈)】=0，y例1设+In(xy一考)o，求y·一解原方程可化为+主(+~ay1+)=一In(xy一考)，