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1、《线性代数》电子教案第五章第五章相似矩阵及二次型§5.1向量的内积、长度与正交性§5.1向量的内积、长度与正交性一.Rn中向量的内积,长度和夹角1.设=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,记为[,],即则称实数aibi为向量与的内积,ni=1[,]=aibi=T.ni=1注意：虽然内积是两个向量之间的运算，但计算结果是实数第五章相似矩阵及二次型2.内积的基本性质对称性:[,]=[,];(2)线性性:[k11+k22,]=k1[1,]+k2[2,];(3)[,]0;
2、且[,]=0=0.(4)
3、[,]
4、[,][,].（著名的施瓦茨不等式）考察y=[,]x2+2[,]x+[,].n=(xai+bi)20i=1=(2[,])24[,][,]0[,]2[,][,].§5.1向量的内积、长度与正交性第五章相似矩阵及二次型3.对于n维实向量,称[,]为的长度或范数,记为
5、
6、
7、
8、,即4.长度的基本性质非负性:
9、
10、
11、
12、0;且
13、
14、
15、
16、=0=;齐次性:
17、
18、k
19、
20、=
21、k
22、·
23、
24、
25、
26、(kR);三角不等式:
27、+
28、
29、
30、
31、
32、
33、+
34、
35、
36、
37、.[,]
38、
39、
40、
41、==ai2ni=1§5.1向量的内积、长度与正交性第五章相似矩阵及二次型5.长度为1的向量称为单位向量.对于非零向量,
42、
43、
44、
45、1是一个单位向量.用
46、
47、
48、
49、1乘称为把单位化或标准化.6.设,Rn,若0,0,则定义,的若[,]=0,即=/2,则称与正交.夹角为=arccos[,]
50、
51、
52、
53、·
54、
55、
56、
57、,0§5.1向量的内积、长度与正交性第五章相似矩阵及二次型例.设,Rn,且与线性无关,求常数k使+k与正交.
58、
59、
60、
61、
62、=
63、
64、
65、
66、cos=[,]
67、
68、
69、
70、=
71、
72、
73、
74、
75、
76、
77、
78、[,]
79、
80、
81、
82、
83、
84、
85、
86、=
87、
88、
89、
90、=[,]
91、
92、
93、
94、
95、
96、
97、
98、[,][,].=§5.1向量的内积、长度与正交性故可取k[,][,].=-第五章相似矩阵及二次型二.正交向量组和Schmidt正交化方法1.一组两两正交的向量组称为正交向量组.由单位向量组成的正交向量组称为规范正交向量组.向量空间的一组基如果是正交向量组,就称之为正交基;如果是规范正交向量组,就称之为规范正交基.§5.1向量的内积、长度与正交性n维向量空间Rn的规范正交基
99、就是单位坐标向量组。第五章相似矩阵及二次型定理1.设1,2,…,s是正交非零向量组,则1,2,…,s线性无关.§5.1向量的内积、长度与正交性设有k1,k2,…ks使k11+k22…+kss=0,用1T左乘上式可得:k11T1=0，因1≠0，故1T1=‖1‖2≠0，从而k1=0。同理可证ki=0第五章相似矩阵及二次型命题1.设1,2,…,s是标准正交向量组,且=k11+k22+…+kss,则ki=[,i],i=1,2,…,s.2.施密特(Schmidt)方法命题2.设1,2,…,s
100、线性无关(s2),则存在一个正交向量组1,2,…,s使得1,2,…,t与1,2,…,t等价(1ts).§5.1向量的内积、长度与正交性第五章相似矩阵及二次型1=1,………正交化过程如下:2=2[2,1][1,1]1,s=s[s,1][1,1]1…[s,s1][s1,s1]s1再将1,2,…,s单位化得:e1=1
101、
102、1
103、
104、,e2=2
105、
106、2
107、
108、,…,es=s
109、
110、s
111、
112、.§5.1向量的内积、长度与正交性第五章相似矩阵及二次型由正交化过程可知§5
113、.1向量的内积、长度与正交性注意：按照施密特正交化方法由线性无关的向量组1,2,…,s导出正交向量组1,2,…,s的过程满足：1,2,…,s与1,2,…,s等价，而且满足对任何k(1≤k≤s)，向量组1,2,…,k与1,2,…,k等价。第五章相似矩阵及二次型§5.1向量的内积、长度与正交性例解：根据施密特正交化方法，可取第五章相似矩阵及二次型§5.1向量的内积、长度与正交性显然，该齐次方程的两个线性无关的解满足与a1正交的要求。第五章相似矩阵及二次型§5.1向量的内积、长度与正交性考虑到：该方程组的基
114、础解系恰好含有两个线性无关的向量，且它们与a1线性无关且正交，因此可利用施密特方法将该方程组的基础解系的两个向量正交化后即满足题设要求。即取：注意：这里没有必要对三个向量都做正交化处理，而且也不需要进行单位
