《线性代数》电子教案-第一、二章

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1、第一章行列式§1.1行列式的有关概念(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.一、二元线性方程组与二阶行列式由方程组的四个系数确定由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即第一章行列式§1.1行列式的有关概念请思考有何

2、运算规律副对角线主对角线对角线法则二阶行列式的计算对于二元线性方程组第一章行列式§1.1行列式的有关概念=a11a22a12a21a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.解为：a11a12a21a22记D=,b1a12b2a22D1=,a11b1a21b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,有唯一确定的解,=D1D=D2D.x1=b1a22a12b2a11a22

3、a12a21x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第一章行列式§1.1行列式的有关概念注意：分母都为原方程组的系数行列式，分子与原方程组的关系留待稍后讨论.根据对角线法则的计算特点x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.例1解第一章行列式§1.1行列式的有关概念二、三阶行列式定义记（4）式称为数表（3）所确定的三阶行列式.第一章行列式§1.1行列式的有关概念三阶行列式的计算注意：1.三阶行列式包括3!项,每一项都是位

4、于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负；2.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．第一章行列式§1.1行列式的有关概念例２解按对角线法则，有第一章行列式§1.1行列式的有关概念对角线法则是否适用于更高阶的行列式？第一章行列式§1.1行列式的有关概念三、排列及其逆序数1排列如：213是一个3级排列。问：1，2，3可以有多少种不同的排列呢？3个自然数共有种不同排列。123,132,213,231,312,321如何区分这些相同元素的不同排列？第一章行列式§1.1行列式的有关

5、概念2逆序n个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（n级）排列的标准排列。标准排列如:123是一个（3级）标准顺序的排列。定义:若n个自然数组成的标准排列为p1p2…ps…pt…pn(s＜t)，若有这n个自然数组成的任意一个排列p1p2…pt…ps…pn，则称ps与pt构成该排列的一个逆序；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数。逆序数为偶数称为偶排列，逆序数为奇数称为奇排列，标准排列规定为偶排列。第一章行列式§1.1行列式的有关概念逆序数的计算设p1p2…ps…pt…pn为1~n的一个全排

6、列，则其逆序数为其中ti为排在pi前，且比pi大的数的个数。例3：讨论1，2，3的全排列。全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇第一章行列式§1.1行列式的有关概念用全排列的方式改写二阶，三阶行列式二阶行列式则∑是对1,2所有的全排列求和。若①p1p2是1,2的全排列；②t是p1p2的逆序数，三阶行列式注意：这里行标是按照自然顺序排列的！第一章行列式§1.1行列式的有关概念若①p1p2p3是1,2,3的全排列；则∑是对1,2,3所有的全排列求和。②t是p1p2p3的逆序数；

7、注意：这里行标也是按照自然顺序排列的！将二阶，三阶行列式推广可得n阶行列式的定义。四、n阶行列式定义元．的（称为行列式数),jiDaij第一章行列式§1.1行列式的有关概念由n2个数组成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和∑(-1)ta1p1a2p2…anpn.其中p1p2…pn为自然数1,2,…,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。即可将n阶行列式记作：注意第一章行列式§1.1行列式的有关概念1.n阶行列式是n！项的代数和;2.n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积

8、;3.一阶行列式︱a︱=a不要与绝对值记号相混淆;4.的符号为例4：计算,.第一章行列式§1.1行列式的有关概念解：D1中只有一项a11a22‥‥ann不含0，且列标构成排列的逆序数为：故同理D2中只有一项a1na2n-1‥‥an1不含0，且列标构成排列的逆序数为：故第一章行列式§1.1行列式的有关概念结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积．以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角