《概率论与数理统计》课件之

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1、§2.4连续型随机变量及其概率密度定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简称为密度函数或概率密度连续型随机变量的概念§2.3连续48xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义49p.d.f.f(x)的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，在f(x)的连续点处，f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率50积分不是Cauchy积分，而是Lesbesgue意义下的积分，所得的变上限的函数是绝对连续

2、的，因此几乎处处可导线段质量长度密度51注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0其中a是随机变量X的一个可能的取值命题连续随机变量取任一常数的概率为零强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)事实上52对于连续型随机变量Xbxf(x)a53xf(x)a54例1已知某型号电子管的使用寿命X为连续随机变量,其密度函数为(1)求常数c(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)计算例155解(1)令c=1000(2)56(3)设A表示一个电子管的寿命小于1500小时设

3、在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y57例2设为使f(x)成为某随机变量X在解由上的密度函数，系数a,b,c必须且只需满足什么条件？当有最小值58另外由当且仅当时得所以系数a,b,c必须且只需满足下列条件59例3设随机变量具有概率密度(1)确定常数(2)求的分布函数解：(1)由60解得(2)的分布函数为6162(1)均匀分布常见的连续性随机变量的分布若X的密度函数为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从参数为a,b的均匀分布.记作均匀分布63X的分布函数为64xf(x)abxF(x)ba65即X落在(a,b)内任何长为d

4、–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的随机变量应用场合66例3秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的概率密度,并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解X等可能地取得区间所以上的任一值，则67(2)指数分布若X的密度函数为则称X服从参数为的指数分布记作X的分布函数为>0为常数指数分布681xF(x)0xf(x)069对于任意的0

5、：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似70若X~Ｅ(),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上命题年轻71解(1)例4假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)~(t),求相继两次故障的时间间隔T的概率分布;设备已正常运行８小时的情况下,再正常运行10小时的概率.例472即(2)由指数分布的“无记忆性”73(3)正态分布若X的密度函数为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数，正态分布亦称高斯(Gauss)

6、分布74N(-3,1.2)75f(x)的性质：图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)性质7677f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大.x=1所对应的拐点前者取78Show[fn1,fn3]大小几何

7、意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比79正态变量的条件若随机变量X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态随机变量80可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；81一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数83-xx84对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换85例5设X~

8、N(1,4),求P(0X1.6)解P380附表3例586例6已知且P(2