《材料力学》05几何性质

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1、《材料力学》郑州大学工程力学系编制第五章平面图形几何性质GeometricPropertiesofanArea10/7/20211§1静矩与形心§2惯性矩、惯性积、极惯性矩§3平行移轴和转轴定理截面图形几何性质§4主惯性轴和主惯性矩10/7/20212§1静矩与形心一.静矩：zyz图形对z轴的静矩：对y轴：二.形心：形心——图形几何中心.只取决于图形的几何形状、尺寸.y对z轴的静矩：重心——物体重力合力作用点.dA与质量有关（物理概念）与质量无关（几何概念）面积与其到轴“距离”之积（StaticMomentandCentroido

2、fanArea）10/7/20213yz若物体均质，则二者重合为一。考虑均质等厚薄板，其形心即为重心坐标，yzdA形心坐标（形心）C用静矩表示：（重心）平面重心坐标可由合力矩定理给出：附录10/7/20214yz三.性质：1.若物体有对称点、线、面，（合之静矩＝静矩之和）形心坐标图形对z轴的静矩为零2.z轴过形心3.静矩可分割组合A1A2则其形心即在该点、线、面上)(代数式附录10/7/20215zy4040试确定下图形心解：按组合图形解1.正面积法，图形分割为三图(a)例①C1（y为对称轴）附录402020③C3②C2mm10/

3、7/202168080图(b)2.负面积法，图形分割如图(b)4040负面积②C2zy①C1mm10/7/20217y例①②③三根10号槽钢焊成一体，求整个截面的形心∵y为对称轴，∴形心在y轴上各种规格品种的型钢，几何尺寸、参数可查型钢表——P370zcxxyy(形心)解：附录10/7/20218一.定义zydAyzr极惯性矩：惯性积§2惯性矩惯性积极惯性矩(面积与到两轴“距离”之积)惯性矩：(面积与其到轴“距离”平方之积)(面积对极点的二次矩)MomentofInertia·ProductofInertia·PolarInert

4、iaMoment10/7/20219zy（对称轴）二.性质：1.zz说明：两侧对称的面积微分——显然该情况对全部图形都如此2.I可分割组合3.若y、z之一是对称轴yy则Iyz=0y坐标同值同号，z坐标同值反号，积分中相互抵消：附录10/7/202110例求惯性矩（对称轴）yzh/2h/2b/2b/2解：dyy（注意：若不在以上位置，）z附录10/7/202111例求惯性矩（对称轴）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/2b/2b/2惯性积解：因二轴为对称轴附录10/7/202112例求图形惯性矩，求,②②②解：求①10107070

5、606020②①附录两腰负面积图形分割为三：图形仍分割为三：②①10/7/202113一.平行移轴公式：§3平行移轴·转轴公式移轴公式zcyc（形心）C二坐标轴，相互平行，=+bzzC+=ayyC()∴其一（）原点在形心ParallelAxis·RotationofAxis10/7/202114Note:,必须过形心思考：公式中，与是否可调换位置？移轴公式附录10/7/2021152010020解：①求形心位置100例求图形对其形心轴的惯性矩分割为二,②求Czc(yc)直接套用矩形公式附录10/7/20211620100CC2求③

6、C1但zc不过二者形心——平行移轴20——图形分割为二：10010/7/202117解：例两16a型槽钢组合截面，欲使（加缀条,螺钉或焊、铆接，成一整体承载）xdxyybz0查P370:令附录10/7/202118例2求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：此题求解——两种方法：一是按定义直接积分；二是用平行移轴定理B建立形心坐标,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO附录10/7/202119y1z1绕原点逆时针旋转角z1y1转轴公式两坐标系原点在同一点，二.转轴公式az1y1z1y110/7/202120转轴公式附录10/7/20212

7、1§4主轴形心主轴主轴过形心，则称为形心主轴定存在特殊角度的一对轴：图形对该对轴的惯性积等于零·.——主惯性轴（简称主轴）图形对对主轴的惯性矩——主惯性矩（简称主矩）以任一点为原点，都有一对主轴随角变化，是的连续函数，据定义可知可正可负亦可为零∴az1y1z1y1PrincipalAxisofInertia·CentroidPrincipleAxisofInertia10/7/202122图形另一形心主轴与其垂直且过形心.图形的对称轴必是形心主轴.（1.对称轴必过形心;C(一对称轴)(二对称轴)CC2.图形关于对称轴的惯性积=0）

8、∴附录10/7/202123本章结束Thanks!10/7/202124以任一点为原点，都有一对主轴。图形对对主轴的惯性矩——主惯性矩（简称主矩）一.主轴和主矩※§5主惯性轴和主惯性矩证明：由上式可知：随角变化，是的连续函数，又据惯性积定义可知可正