浅论抽象函数的对称性及应用

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1、浅论抽象函数的对称性及应用麻城实验高中阮晓锋函数是中学数学教学的主线，是整个高中数学的基础。作为函数的一个性质，对称性充分体现了数学之美。对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，利用它还往往能使数学问题得到简捷解决。本文拟从函数自身与两不同函数之间两方面来探究抽象函数的对称性。一、函数自身的对称性探究定理1：函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b，也可以写成或..证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f

2、(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b。（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上而点P与点P‘关于点A(a,b)对称∴y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称。综上知定理得证。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0推广：若函数定义域为，且满足条件：（为常数），则函数的图象关于点对称。定理2函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是也可以写

3、成f(a+x)=f(a－x)或。证明：先证充分性设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称再证必要性任取y=f(x)图像上的一点，它关于x=a对称的点为∵函数y=f(x)的图象关于x=a对称∴点也在函数y=f(x)的图象上故有恒成立。综上知定理得证。推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)推广：若函数y=f(x)满足条件，则函数关于直线对称结论：若函数定义域为，且满足条件：，又若方程有个根，则此个根的和为。二、两个不同函数对称性的探究定理3：若函数定义域为，则函数与两函数的图象关于直线对称（可记作由解得）。证明：设P()是y=f(a+x)图像上的任意

4、一点，则=f(a+)=f[b-(b-a-)]∴点P‘(b-a-,)在函数y=f(b-x)的图像上而点P(）与点P‘(b-a-,)关于直线x=对称同理可证函数y=f(b-x)图像上的任一点关于直线x=的对称点在y=f(a+x)图像上故定理得证。推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称推论4：函数与函数的图象关于直线对称。定理4.若函数定义域为，则函数与的图象关于点对称。证明：设设P()是y=f(a+x)图像上的任意一点，则=f(a+)=f[b-(b-a-)]∴c-f[b-(b-a-)]=c-即点P`(（b-a-，（c-）在函数y=c-f(b-

5、x)的图像上而点P()与点P`(（b-a-，（c-）关于点对称同理可证y=c-f(b-x)图像上任意一点关于点的对称点在y=f(a+x)图像上故定理得证。推论1：函数与函数图象关于点对称。推论2：函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点(a,b)成中心对称。定理5①函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。②函数y=f(x)与x－a=f(a+y)的图像关于直线x－y=a成轴对称。现证定理5中的②设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x0,y0)关于直线x－y=a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1=a+y0

6、,y1=x0－a∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P‘（x1，y1）在函数x－a=f(a+y)的图像上。同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的②成立。推论1：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称，即互为反函数的函数与函数图象关于直线对称。定理6：函数y=f(x+m)与y=2a-f(x+m)关于直线对称。推论：函数与图象关于X轴对称。三．函数对称性应用举例题型一、抽象函数的对称轴1、若函数对一切实数都有f(2＋x)=f(2－x)则（A

7、）A.f(2)