概率论_第一章_习题

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1、习题选解第一章随机事件及其概率1.2设、、表示三个随机事件，试将下列事件用、、表示出来：（1）仅发生；（2）、、都发生；（3）、、都不发生；（4）、、不都发生；（5）不发生，且、中至少有一事件发生；（6）、、中至少有一事件发生；（7）、、中恰有一事件发生；（8）、、中至少有二事件发生；（9）、、中最多有一事件发生。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）或者；（9）或者或者1.4电话号码由7个数字组成，每个数字可以是中的任一个数字（但第一个数字不能是0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。解：基本事件的总数（即7位电话号码的总数）为，而由完全不同的数字组成的电话

2、号码的个数为，于是所求概率1.5把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本放在一起的概率。解：10本书共有种排法。指定的三本放在一起有种排法，把这三本看作一个整体与剩下的7本书又有种排法，因此所求的概率1.7在桥牌比赛中，把52张牌任意的分发给东、南、西、北四家（每家13张牌），求北家13张牌中：（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率；（2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。5习题选解解：基本事件的总数。（1）事件(北家的13张牌中恰有5张黑桃，4张红心，3张方块，1张草花)包含的基本事件数，于是，所求的概率。（2）事件（北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各

3、一张，其余为小牌）包含的基本事件数，于是，所求的概率。1.9同时掷四个均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）——四个骰子的点数各不相同；（2）——恰有两个骰子的点数相同；（3）——四个骰子的点数两两相同，但两对的点数不同；（4）——恰有三个骰子的点数相同；（5）——四个骰子的点数都相同。解：同时投掷四个均匀的骰子，出现的点数共有种。（1）事件包含的事件个数，于是；（2）事件包含的事件个数，于是；（3）事件包含的事件个数，于是；（4）事件包含的事件个数，于是；（5）事件包含的事件个数，于是1.13某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品。从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率

4、。分析：设事件A表示检查时发现次品不多于1个，则可以分解为两个互不相容事件的并：，其中事件表示检查时没有发现次品，事件表示检查时发现1个次品。由此不难利用概率加法定理求解。5习题选解解：从这批产品中任取一半（即50个产品）来检查，基本事件的总数。事件，包含的基本事件数分别是，。按公式（1.3）得，。于是，按概率加法公式（1.11）得所求概率。1.19在1~100共一百个数中任取一个数，求这个数能被2或3或5整除的概率。解：设事件表示该数能被2整除；表示该数能被3整除；表示该数能被5整除，则1.23猎人在距离100m处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物

5、逃跑而使距离变为150m；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200m。假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率。分析：设事件表示猎人击中动物，事件表示第次射击时击中（），则可以分解如下：。在计算得事件的条件概率后，就不难利用概率乘法定理与概率加法定理求解。解：因为第次击中的概率与距离成反比，所以设，其中为比例常数。已知，代入上式得，所以有。因为在第一次未击中的条件下才进行第二次射击，在第一次、第二次都未击中的条件下才进行第三次射击，所以上述概率及都是条件概率，即，。于是，按概率乘法公式（1.16）及（1.18）得。最后，按概率加法公式（1.13）得所求概率5习题选解1.

6、25两台车床加工同样多的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件时合格品的概率。解：设事件表示取出的零件是合格品；事件（）表示取出的零件是第台车床加工的零件。由全概率公式：1.27试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的。任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率是0.8，求：（1）考生选出正确答案的概率；（2）已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率。分析：设事件表示考生

7、会解这道题，则事件表示考生不会解这道题。又设事件表示考生选出正确答案，则可以分解如下：。（1）利用全概率公式即可求得概率；（2）已知事件发生，可以利用贝叶斯公式求条件概率。解：（1）由题意知：，；，。于是，按全概率公式（1.20）得所求概率（2）按贝叶斯公式（1.21）得所求概率1.28在习题1.25中，如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。解：由贝叶斯公式：1.36电灯泡使用时数