概率(第三章例题)

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1、例3.1设随机变量X的概率函数如表3.1所示。表3.1X-1120.50.20.3按照分布函数的定义，X的分布函数F(x)在任意一个x处的值等于“不大于x的各种取值所对应的概率之和”，即它的图像见图3.1图3.1例3.2设随机变量X在区间[0,1]上取值，这是一个连续随机变量。当时，概率P()与成正比。试求X的分布函数F(x)。解：当x<0时：;当时：;当时，由F(1)=1，P(X<0)=0及，得到k=1。因此，X的分布函数（图3.3）为图3.3例3.3根据历史资料分析，某地连续两次强地震之间相隔的时间X（单位：年）是一个随机变量，它的分布函数为现在该地刚

2、发生了一次强地震。试求（1）今后3年内再次发生强地震的概率；（2）今后3年至5年内再次发生强地震的概率。解：（1）所求概率为（2）所求概率为例3.4设X~N(0,1).查附表四得到例3.5设X~N(1,4)，查附表四得到这里用到了例3.6某人上班所需的时间（单位：分）X~N(50,100).已知上班时间为早晨8时，他每天7时出门。试求，（1）某天迟到的概率；（2）某周（以五天计）最多迟到一次的概率。解：（1）某天迟到的概率为（2）设一周内迟到次数为Y。离散型随机变量Y~B(5,0.16).所求概率为例3.7设(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中，，试求一

3、元二次方程无实数根的概率，并求出分布函数F(x,y)。解：由于G的面积为4，因此，（X,Y）的密度函数于是，所求概率（图3.7）为分布函数F(x,y)要用二元分段函数来表达：xOy平面被4条直线分成9部分，由定义3.4分别求得图3.7例3.8设X与Y的联合密度函数为其中，区域G如图3.9所示，试求X,Y的边缘密度函数。图3.9解：当0

4、G内的线段在x轴上的投影），且当1

5、电流（单位：A）X通过一个电阻值为3Ω的电阻器，且X～R(5,6).试求在该电阻器上消耗的功率的分布函数与密度函数解由于X的值域，因此，的值域.Y是一个连续型随机变量。X的密度函数为当750:由于这里只要求出密度函数，因此，由高等数学中积分上限函数的求导公式，对直接求导得到例3.13设随机变量X分布函数F(X)连续且单调增加。求证，随机变量Y=F(X)～R(0,1).解由于F(x)单调增加，因此反函数F-1(x)存在。Y=F(X)的

6、值域当00时，其中，（图3.10）.图3.10例3.14中的积分区域Dz从而，当z>0时：.通过求导得到Z的密度函数为例3.15设X与Y相互独立，X～R(0,1),Y～E(1).试求Z=X+Y的密度函数。解X与Y的联合密度函数为Z=X+Y的值域当z>0时：其中，（图3.11）.由于z<1与z>1时积分区域Dz的形状不同，因此，需要分别讨论.图3.11例3.15中的积分区域Dz

7、当01时：通过求导得到Z的密度函数：一般地，当X与Y的联合密度函数为f(x,y)时，Z=X+Y的分布函数为对花括号内的积分做变换u=x+y，得到于是从而，Z的密度函数为当X与Y相互独立时，上试成为这个公式称为卷积公式。把X与Y的地位对调，同样可得卷积公式的另一种形式例3.16设X与Y是独立同分布的随机变量，它们都服从区间(0,Ѳ)上的均匀分布，Ѳ>0，试求U=max(X,Y)与V=min(X,Y)的密度函数。解均匀分布R(0,Ѳ)的分布函数U的值域,当0