傅立叶分析及推导

《傅立叶分析及推导》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、傅立叶变化一、傅立叶变换的介绍无论是在生活中或者数学的本身，人们总是希望把复杂的问题转换为比较简单的问题，把不会解决的问题转换为会解决的问题。其中有一种转化是利用一种可逆的变换。把问题转还为我们会解决的问题，解决完之后在变换到原来的问题。能完成这中变换的通常有傅立叶变换和拉普拉斯变换。其中傅里叶变换傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。二、傅立叶变换的提出傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBapt

2、isteJosephFourier(1768-1830),Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimondeLaplace,1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示

3、带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。三、傅立叶积分展开公式的形式推演当以为周期的函数满足狄氏条样时，在它的连续点x出，有：（1）式其中(2)式将（2）式代入（1）时得：（3）式在的第一类间断点x处，上式左端的应该换成。若用表示上面的平均值，注意在的连续间断点x处，则（3）式可以写成（4）下面做一个粗略的演算（假设每一步的推算都是可行的），将上式化为

4、一个无穷级数的形式，从而引出傅立叶变化（简称傅立叶变换）设定义域且不是周期函数。做的“截断”函数可以认为将（它仅是定义在上）以2l为周期延拖到整个数轴，并将它记为。由上面的（4）式有（5）式若令，且记则式（5）成为：（6）式令函数（7）式则(6)式右端第二项就相当于在区间上的无穷局分为当时，。在式（6）两端，令，由于右端的第一项的极限为0，可得（8）式（9）式（10）式其中（11）式上面的式子推导不是很严格的但是可是它具有启发性。式子（10）将函数表示成一个无穷积分（称它为傅氏积分变换公式），如果将它与（4）式相比，这里的积分号“”相当于那边的和号“”而和相当于那

5、里的傅立叶系数和，另外还有一个启发式，式子（7）将函数变成了，而式子（8）又将变到了。如果将（9）式写成指数形式，则上述事实就有对称性。首先，关于的偶函数，所以其次，是关于的奇函数，所以将上面的两个式子相加，并注意有可得（12）式如果令于是就得到了傅立叶的正反变换公式。