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《GAUSS格式的拟渐近性(中文)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、GAUSS格式的拟渐近性刘文海福建对外经济贸易职业技术学院福建福州350016摘要：本文讨论求解常微分方程的一步高阶GAUSS型差分格式的基本性质，并将格式应用于简单的生态学群体增长模型,讨论其不动点及稳定情况。关键词：常微分方程，差分格式，稳定性,不动点１ 引言在生产实际和科学研究中，经常遇到的常微分方程中，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时侯，即使能求出封闭形式的解，也往往因计算量太大而不实用。因此，常微分方程的数值解法就成为求解常微分方程的一种很重要的方法。众所周知，对于求解常微分方程的数
2、值格式,时间步长超过其稳定界限后，[1]差分格式的解可能会产生周期或混沌及发散现象．例如用显式Euler差分格式求解常微分方程（１．１） 得到差分方程（１．２） 这里ｈ为差分格式的时间步长，，并记。当ｒ<２时，（１．２）的解收敛时均收敛于常微分方程（１．１）的不动点１．当２£ｒ£２.43时（１．２）的解出现双周期现象,当2.42<ｒ<3时,（１．２）的解会出现多周期现象及混沌现象.当ｒ³3时,（１．２）的解出现发散现象.本文利用GAUSS型求积公式，构造了求解常微分方程（１）的一步高阶显式
3、差分格式，并将格式应用于简单的生态学群体增长模型,[2]讨论其不动点及稳定情况。２ GAUSS型差分格式 考虑一阶常微分方程初值问题：(2.1)的数值解。取时间步长为h,记．假设方程（１）的精确解y(x)在处的值为y()，其近似值为。对（２．１）在区间上求积分得[3]利用三阶精度的GAUSS求积公式近似计算积分得:≈≈4其中:,于是，得到GAUSS型差分格式:(2.2)定理２.１：当函数和y具有二阶连续导数时，差分格式（２．２）是二阶精度格式。［１］定理２.２：若函数具有连续的二阶导数，则差分格式（２.２
4、）为收敛格式.［１］将GAUSS差分格式(2.2)应用于求解常微分方程(1.1),得到差分方程（2.3） ]=因此,若=0,则ｙ*为(2.3)的不动点.要(2.3)在不动点ｙ*附近是稳定的,则必需有
5、1+h(ｙ*,h)
6、<1.根据以上情况,证明以下定理:定理2.3:GAUSS差分格式(2.3)的不动点和相应的稳定区域如下:不动点ｙ*=1，稳定区域为:０＜ｒ＜2；不动点ｙ*=,稳定区域为:2＜ｒ＜其中。另外不动点ｙ*=0，ｙ*=是不稳定的。证明：在（2.3）中令，则：，通过求解该一元四次代数方程，[3]
7、容易得到（2.3）的不动点为：ｙ*=0，ｙ*=1，ｙ*=，ｙ*=。下面讨论各不动点的稳定区域。当ｙ*=0时，由于，所以，不动点ｙ*=0是不稳定的。当ｙ*=时，4所以，不动点ｙ*=是不稳定的。当ｙ*=1时，，要使
8、1+h(ｙ*,h)
9、<1则，所以。即不动点ｙ*=1，稳定区域为。当ｙ*=时，令则：，求解该不等式，我们可以得到：，即不动点ｙ*=的稳定区域为。不动点ｙ*=1和ｙ*=0为常微分方程(1.1)的不动点,而不动点ｙ*=,和不动点ｙ*=则非常微分方程(1.1)的不动点,即不动点ｙ*=,和ｙ*=为拟不动点.
10、３ 数值实验将求解常微分方程的GAUSS差分格式(2.2)应用于求解简单的生态学群体增长模型,讨论其不动点及稳定情况。为方便起见假设a=1，对于不同的初始值进行计算。其计算结果如下图所示。从计算结果可以看出,在初始值小于1.0的情况下：当时间步长ｈ£2.4,计算解很快就收敛于微分方程的不动点；[6]当2.4<ｈ£2.6时,计算解出现双分叉现象.；当2.6<ｈ£2.8时,计算解出现四分叉及多分叉现象；.当2.8<ｈ£3.2时,计算解出现混沌现象.；当3.2<ｈ时,计算解很快发散到无穷。在在初始值大于1.0的
11、情况下：当时间步长ｈ<2.0时，计算解收敛于微分方程的不动点，当2.0£h时，计算解很快发散到无穷。4图1y0=0.2图2y0=0.5图3y0=0.8ONSPURIOUSASYMPTOTICNUMERICALSOLUTIONSOFGAUSSSCHEMEAbstract:InthispaperwediscusscharacterofGaussschemefornumericalordinarydifferentialequation,whichisanone-stephigh-orderaccuratedi
12、fferencescheme,andtheschemeisappliedtoequationof,anddiscussthefixpointandstability.Keywords:Ordinarydifferentialequation,，differencescheme，stability，fixpoint参考文献：[]H.C.Yee,P.K.Sweby,SomeAspectsofNumericalUncertainti
