量子力学第三章算符

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1、第三章算符和力学量算符3.1算符概述设某种运算把函数u变为函数v，用算符表示为：（3.1-1）称为算符。u与v中的变量可能相同，也可能不同。例如，，，，，，则，x，，，都是算符。1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u，若，则。（2）算符的相加：对于任意函数u，若，则。算符的相加满足交换律。（3）算符的相乘：对于任意函数u，若，则。算符的相乘一般不满足交换律。如果，则称与对易。2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u，若u=u，则称为单位算符。与1是等价的。（2）线性算符对于任意函数u与v，若，则称为反线性算符。

2、（3）逆算符对于任意函数u，若则称与互为逆算符。即，。并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。对于非齐次线性微分方程：，其中为与函数构成的线性算符，a为常数。其解u可表示为对应齐次方程的通解u。与非齐次方程的特解之和，即。因83，所以不存在使。一般说来，在特解中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，=0，则中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在使，从而由得：。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。（4）转置算符令，则称与的转置算符，是一个向左作用的算符。

3、若算符表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。定义波函数与的标积为：（3.1-2）与的标积以及与的标积为：若上两式中的与都是任意波函数，则称上两式中的与为任意标积中的算符。下面考虑在任意标积中的性质。波函数与在无限远点也应满足连续性条件：[可都等于零]，，所以得：可见在任意标积中，。（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。以标记的转置共轭算符，则83若在任意标积中，，则称为厄密算符。即厄密算符的定义为：或写为（3.1-3）可

4、以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因x是实数，而，所以。在任意标积中，因，所以。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明是厄密算符。，所以是厄密算符。（6）幺正算符若在任意标积中，，则称为幺正算符。设，若为厄密算符，则必为幺正算符。（7）算符的函数设函数F（A）的各阶导数都存在，则定义算符的函数F（）为：（3.1-4）其中表示n个的乘幂，即。例如3.2算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson）括号为：（3.2-1）一般说来，例如，这样的关系或称为对易关系式。是对易关系式中的特例，这时，称与是对易的。1．量子力学中

5、基本对易关系在位置表象中，，即，此式对任意的都成立，所以得：83在动量表象中，即，此式对任意的都成立，所以得：可见在位置表象中与动量表象中都得：（3.2-2）如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如，在位置表象中，所含的变量是y，而所含的变量是x，所以=0。又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r，而所含的变量是，所以。此外，相同的算符一定对易。以表示x，y，z，以表示，则应有：（3.2-3）(3.2-4)（3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及

6、线性算符的定义式不难证明下关系式：（其证明供练习）（3.2-5）C为常数（3.2-6）C为常数（3.2-7）(3.2-8)(3.2-9)(3.2-10)3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系83同理可得：，……，各对易关系可合写为：采用爱因斯坦记号，则上式可写为：（3.2-11）其中称为勒维——奇维塔（Levi-Civita）符号。=1，对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，，。若中有两个角标相同，则其值为零。具有以下数学性质：（3.2-12）(3.2-13)上式中将改写为称为将反对称化

7、，之所以能将反对称化是由于对角标i，j反对称之故。（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系（3.2-14）（3）角动量算符的对易关系（3.2-15）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：（3.2-16）若令，则可得：（3.2-17）83（3.2-18）（4）算符的函数之间的对易关系（3.2-19）(3.2-20)必须注意，若，则。3.3线性厄密算符和力学量算符1．厄密算符的性质（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。设与是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得：所以也是厄密算符。（2）厄密算符的本征值必为实数。

8、设为厄密算符，其本征方程为：，则根据（3.1-3）式得：则因，则得F=F*，所以F为实数。（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。设，为厄密算符分别对应本征值，的本征函数，则即当时得：83上式称为正交关系式。若本征值无简并，且本征函数已归一化，则得：当F为分立谱时，（