《微积分英文》PPT课件

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1、Chapter6ApplicationsoftheIntegral5.1AreaofaPlaneRegion微元法对于定积分的应用，关键在于微元法。那么什么是微元法呢？简单地说，就是怎样把一个所求量表示成定积分的分析方法。分割取近似求和取极限步骤：为了便于应用，取消这里的下标i,同时事实上，即：可见，步骤：AregionBetweenCurvesExample法1直角坐标系下平面图形的面积法2Sol1，如图ExSol2，如图由于所求面积具有对称性，所以选取第一象限进行计算．Sol：Ex.一般地，求图形的面积通

2、常有以下各种情形：方法：上—下Ⅰ方法：右—左Ⅱ须拆分成两部分或多部分进行计算Ⅲ选取积分变量，以可以进行积分运算、分割部分区域尽量少为原则。6.2VolumesofSolids:Slabs,Disks,Washers旋转体：由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体.圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成．如：旋转体的体积已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,

3、当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束解：Ex解：dxx+xEx方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束6.3VolumesofSolidsofRevolutions:ShellsWhenanareabetweentwocurvesisrevolvedaboutanaxisasolidiscreated.Thissolidcouldbeconsideredasthesumofman

4、y,manyconcentriccylinders.Volumeistheintegralofthearea,inthiscaseitisthesurfaceareaofthecylinder,thus:r=xandh=f(x)6.4LengthofaPlaneCurveAplanecurveissmoothifitisdeterminedbyapairofparametricequationsx=f(t)andy=g(t),a<=t<=b,wheref’andg’existandarecontinuouso

5、n[a,b],andf’(t)andg’(t)arenotsimultaneouslyzeroon(a,b).Ifthecurveissmooth,wecanfinditslength.LengthofaPlaneCurve平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):P29

6、6机动目录上页下页返回结束因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束P295Ex.计算摆线一拱的弧长.Sol:机动目录上页下页返回结束DifferentialofarcLengthAreaofasurfaceofrevolution5.5Work&FluidForceWork=ForcexDistanceInmanycases,theforceisnotconstantthroughouttheentiredistance.Todeterminetotal

7、workdone,addalltheamountsofworkdonethroughouttheinterval–INTEGRATE!IftheforceisdefinedasF(x),thenworkis:物体在变力作用下，沿直线从移动到所做的功。讨论：近似地看作小区间上的常力，得到功的微元：于是，所求的功为：可用微元法解，取位移为积分变量，的变化区间是。在该区间上任取一个小区间，定积分在物理学中的应用1)功Work&FluidForceEX.一个单求电场力所作的功.Sol:当单位正电荷距离原点r时,由库仑

8、定律电场力为则功的元素为所求功为说明:机动目录上页下页返回结束位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a