《微积分公式》PPT课件(I)

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1、§1．8无穷小的比较一、无穷小的阶二、关于等价无穷小的定理阶的定义定理1、定理2、用等价无穷小求极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度．在x0的过程中，x20比3x0“快些”，反过来3x0比x20“慢些”，而sinx0与x0“快慢相仿”．一、无穷小的阶观察两个无穷小比值的极限：观察与比较：一、无穷小的阶设a及b都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小．就说b是比a高阶的无穷小，记为b=o(a)；就说b是比a低阶的无穷小．就说b与a是同阶无穷小；就说b是关于a的k阶无穷小．就说b与a是等价

2、无穷小，记为a~b．阶的定义：举例：所以当x3时，x2-9与x-3是同阶无所以当x0时，3x2是比x高阶的无穷小，即3x2=o(x)(x0)．穷小．阶无穷小．所以当x0时，1-cosx是关于x的二即sinx~x(x0)．所以当x0时，sinx与x是等价无穷小，二、关于等价无穷小的定理定理1b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o(a)．证明必要性设a~b，则因此b-a=o(a)，即b=a+o(a)．充分性设b=a+o(a)，则因此a~b．因为当x0时所以当x0时，有因为当x0时tanx~x，所以当x0时，有tanx

3、=o(x)．例1因为当x0时sinx~x，所以当x0时，有sinx=x+o(x)．定理2表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选取得适当，则可使计算简化．举例：解当x0时，tan2x~2x，sin5x~5x，所以解当x0时sinx~x，无穷小x3+3x它本身显然是等价，例2所以