求直线的实长和平面的实形

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1、§2—6求直线的实长和平面的实形在前面学习直线和平面的投影时，我们讨论了一般位置直线和一般位置平面的投影特点。由于二者均与三个投影面成倾斜位置，因此三个投影都不能反映实长或实形。在绘制机械图样时，常常会遇到需要解决实际长度和实际形状的问题。求一般位置直线的实长和一般位置平面的实形的方法有多种，这一节介绍的是用变换投影面的方法求得实长和实形。一、换面法的基本概念变换投影面法的应用1：在V、H两投影面体系中，AB为一般位置直线，其两面投影均不能反映实长。为求AB实长可设一V1投影面，V1面与AB平行并垂直于H投影

2、面。将AB线向V1面作正投影，则AB线在V1面上的投影便可反映实长。直线的新投影还可反映α角的实际大小。正投影的"真实性"表明，当空间的直线或平面与投影面成平行时，其投影能够反映直线的实长和平面的实形。变换投影面的基本方法是，设置新的投影面来代替原来的某一投影面，并使新投影面与空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。一、换面法的基本概念变换投影面法的应用2：图中△ABC平面为一铅垂面，其水平投影积聚为一直线，正面投影为缩小的类似图形。为求得ABC平面的实际形状，可设一新投影面V1，V1面与△ABC平面平行并垂直

3、于H投影面。一、换面法的基本概念关于换面法的术语解释：1.旧投影面——指图中的V、H面2.旧投影——指几何元素在V、H面上的投影3.被替换的投影面——图中的新面V1与H面垂直，替换了旧投影面V，因此V面为被替换的投影面,V面上的投影称为被替换的投影4.不变投影面及不变投影——指图中的H面以及几何要素在H面上的投影从下图可以看到，所设置的新投影面应符合以下两点原则：1.新投影面必须垂直于原投影面体系中的一个投影面，并与它组成新的投影面体系。必要时可作连续变换。2.新投影面应处于有利于解题的位置。一、换面法的基本

4、概念关于换面法的术语解释：5.新投影面—指图中的V1面，如果需要也可设H1面6.新投影轴—新投影面与不变投影面的交线，如图中的O1X17.新投影—指几何要素在新投影面上的投影,如a1'b1'关于换面法的投影规律和投影面的转换方法：在对几何要素进行投影变换时，仍旧遵循着正投影的基本规律以及投影面的转换方法。换面法的投影面转换过程如图所示。（点击图形演示动画）二、点的投影变换1.点的一次变换同前面分析点的投影一样，分析点的投影变换、掌握点的变换规律是解决直线和平面变换的基础。V、H两投影面体系中有一A点，现在适当

5、位置设一V1面，V1和H面构成新的两投影面体系。A点在V1面上的正投影记做a1'。a1'与a的连线和O1X1轴的交点记做ax1。将V1与H面展开。（点击图形演示动画）二、点的投影变换1.点的一次变换问题1：点的新投影a1’与不变投影a的连线—？垂直于新轴O1X1。（点的变换规律1）问题2：点的新投影a1‘到新轴O1X1（ax1)的距离—？等于被替换的投影a‘到旧轴（ax）的距离。（点的变换规律2）根据上述两点规律便可作出点的投影变换。在用换面法解决实长或实形等问题时，也可采用变换H1面的方法。变换H1面与变换

6、V1面的规律是一样的，即：1.点的新投影与不变投影的连线垂直于新轴2.点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离。需要注意的是谁是点的不变投影、被替换的投影。1.点的一次变换例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新投影。作图分析：从图中标注可知变换的是V1投影面，a'为被替换的投影，a为不变投影。按照点的变换规律即可作出A点的新投影。作图步骤：1.点的一次变换例：已知A点的两面投影a'、a，试作出给定位置的A点新投影。又：作出A点在H1面上的投影。作图分析：变换H1面与变换V1面的作图分

7、析和作图步骤相同。作图步骤：本题的投影变换作图为点A的两个一次变换。2.点的次变换在用投影变换的方法求解一些实际问题时，需要变换两次投影面，这样的变换方法称为二次变换。二次变换实际上就是连续作出的两个一次变换。其变换的原则和变换的规律与一次变换方法完全相同。不过在作二次变换时要正确判断出不变投影、被替换的投影、新轴和旧轴，准确定出点的新投影的位置。点的二次变换的分析：图中先变换的是V1面，接着作第二次变换。此时的H1面与V1面垂直，被替换是H面，而V1面为不变投影面。O2X2为新的投影轴，O1X1则成了旧投影

8、轴。（点击图形演示动画）2.点的次变换例：作出A点的二次变换投影图。作图分析：两次变换的规律是一样的，要注意的是在作第二次变换时定准点的新投影的位置。作图过程如图所示。三、直线的投影变换直线的变换主要解决以下两个方面问题：⑴求直线的实际长度或倾角⑵求直线的积聚性投影变换直线可归结于变换直线上的两端点的作图。只是要根据解决的实际问题确定变换的新投影面的位置。1.将一般位置直线变换为投影面平行线通过一次