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1、第一节导数概念第二章三、导数的几何意义二、导数的定义一、引例四、函数的可导性与连续性的关系五、小结与思考题（TheConceptofDerivative）9/5/20211一、引例（Introduction）1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动9/5/20212曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)2.曲线的切线斜率割线MN的斜率切线MT的斜率9/5/20213瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有
2、:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题9/5/20214二、导数的定义（DefinitionofDerivatives）1.函数在一点的导数与导函数定义1设函数在点存在,并称此极限为记作则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.即9/5/20215若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注:就说函数就称函数在I内可导.
3、的导数为无穷大.9/5/20216由此可见，运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率9/5/20217(C为常数)的导数.解:即例2求函数解:例1求函数2.求导数举例9/5/20218对一般幂函数(为常数)例如，说明：9/5/20219类似可证得:例3解:即9/5/202110例4解:即特别地，9/5/202111例5解：即特别地，9/5/202112在点的某个右邻域内若极限则称此极限值为在处的右导数,记作(左)(左)定义2设函数有定义,存在,3.单侧导数在点可导的充分必要条件注1：函数且是注2：
4、若函数与在开区间内可导,且都存在,则称在闭区间上可导.9/5/202113在x=0不可导.例6证明函数证:因此，函数在x=0不可导.9/5/202114三、导数的几何意义(GeometricInterpretation)曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:9/5/202115哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:故在原点(0,0)有垂直切线例7问曲线令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平
5、行的切线方程分别为即9/5/202116四、函数的可导性与连续性的关系定理证:设在点x处可导,存在,故即所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.9/5/202117例8解：在处的讨论函数是有界函数,在处连续性.但在处有当时，在－1和1之间振荡而极限不存在.在处不可导.连续性与可导性.9/5/202118内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：9/5/2021192.利用导数的定义得出以下导数公式：3.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且
6、相等.4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：可导必连续;但连续不一定可导。9/5/202120思考与练习1.函数在某点处的导数有什么区别与联系?与导函数区别:是函数,是数值;联系:注意:？9/5/2021213.已知则存在,则2.设4.设存在,求极限解:原式9/5/202122,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.5.设9/5/202123解:因为存在,且求所以6.设9/5/202124在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续
7、,所以即在处可导.故7.设9/5/202125
