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1、第二章 材料科学研究中常用的数值 分析方法典型模拟方法及所对应的模拟尺度材料模拟技术中对应的时间－空间尺度在科学技术及工程领域，许多力学及物理问题已经得到了反映其规律的基本方程（微分方程）和相应的定解条件。但只有少数性质较简单、边界较规整的问题能通过精确的数值计算得到解析解。解决此类问题的通常途径：①对方程及边界条件加以简化，得到问题在简化条件下的解答；（只在少数情况下有效，因为过多的简化会引起模型失真，导致较大的误差，甚至得到错误的结论）②采用数值解法，得到模型的数值解。随着计算机技术的发展和应
2、用，数值分析方法已经成为求解科学技术问题的主要工具。目前，常用的数值分析方法大致分为两大类：有限差分法和有限元法。直接法和间接法。直接法：精度高，重复工作量小，但编制计算程序复杂，对计算机资源占用较多。间接法：即迭代法。计算程序简单，占用内存小，但重复工作量大，计算精度取决于迭代次数。第一节线性方程组的数值解法一、直接法：可经过有限次运算，求得在一定舍入误差内的精确解。1、高斯顺序消去法解线性方程组AX＝b，对增广矩阵[A：b]顺序作初等行变换，把矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组
3、的解。要求作初等行变换消元过程中，aii(i)≠0.x1=1,x2=2,x3=3.课堂作业：解：X＝(1，1，－1)T2、高斯列主元消去法课后作业（高斯列主元消去法）在四位十进制的限制下，分别用顺序高斯消去法和列主元消去法求解下列线性方程组。用顺序消去法得：x1=-104.0,x2=100.0,x3=5.546用列主元消去法得：x1=17.46，x2=-45.77,x3=5.5463、追赶法方程组的解可用递推公式表示为：课堂作业（追赶法）答案：x1=0.2,x2=0.2,x3=-0.5,x4=0.
4、8,x5=0.3二、间接法（迭代法）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。对于方程组AX=b，构造一个[x(k)]值，代入方程组，得出[x(k+1)]值，再不断迭代，使迭代值收敛于方程组的精确解。这个逼近的过程称为迭代法。迭代法分为：简单迭代法；高斯－赛德尔迭代法；超松弛法等。1、雅可比(Jacobi
5、)迭代法（简单）课堂练习课后作业用Jacobi迭代法求解方程组，要求解为：x1≈0.231087，x2≈0.147055,x3≈0.5083932、高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法用Gause-Seidel迭代法求解方程组，要求课后作业3、超松弛迭代法课后作业试用ω＝1.25的超松弛迭代法求解方程组，要求解为，x1≈1.50005，x2≈3.33331,x3≈-2.1666731/24ElectronicAtomicContinuum计算材料科学中的多尺度问题Time(s)Lengt
6、h(m)10-1410-710010710-910-610-3100Microstructual应力应变温度流场……相分数晶粒尺寸组织形貌浓度场……晶体结构缺陷运动……有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念
7、直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。第二节有限差分法（FDM）差分的概念：某物理量的增量。1、向前差分：(1)一阶差分:(2)二阶差分：一般的m阶差分用m-1阶差分定义：称为向前差分算子。2、向后差分：（1）一阶差分：（2）二阶差分：m阶差分为称为向后差分算子。3、中心差分表示中心差分算子。二阶中心差分：4、差商：为函数差分与自变量差分之比。概述实质是以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数学推导的过程，将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分
8、布。有限差分法的主要步骤：差分方程的建立在建立差分方程前，均需对所求解区域进行离散化。1、合理选择网格布局及步长将自变量x,y分别沿x,y轴方向离散，形成离散化网格。网格交点称为节点（或结点），依次将节点编号。i,j+1i,ji-1,ji+1,ji,j-1xy2、将微分方程转化为差分方程实际上是以差分代替微分，以差商代替微商，是以有限小量代替无限微量的近似化过程。有限差分法计算的误差分析ui＝u(x)将离散化的i+1,i-1结点的函数值ui+1,ui-1分别按Talor级数展开：例
