材料科学研究中常用的数值分析

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1、第二章材料科学研究中常用的数值分析方法有限差分法和有限元法第一节有限差分法一、概述以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分方程、以数值计算代替数值推导的过程，从而将连续函数离散化，以有限的、离散的数值代替连续的函数分布。有限差分法的主要步骤如下：1）构成差分格式。首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分代替无限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。2）求解差分方程：直接法和间接法3）对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。二、差分方程的建立导出差分方程的途径有两种：一是从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分的数学含义去建立有限差分和差分方程；另

2、一种则是从由网格所划分的单元体的能量平衡出发，由积分方程去建立差分方程，该方法又称单元体平衡法。两种方法各具特色，但无论采取哪种方法，在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散化。1、合理选择网格布局及步长区域离散化离散化网格的选择有两种方法：物理划分法和以几何区域形状为依据去划分。2、将微分方程转化为差分方程将微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微分、以差商代替微商，是以有限小量代替无限微量的近似化过程。（1）差分所谓差分，就是某物理量的有限增量。1）向前差分2）向后差分3）中心差分（2）差商差商为函数的差分与自变量差分之比。3.有限差分法的求解步骤第二节有限元法finiteel

3、ementmethod1用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已

4、有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。2有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。3有限元是那些集合在一起能够表示实际

5、连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。直接刚度法对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通

6、常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建

7、立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。    为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相