《定积分及应用g》PPT课件

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1、第三章定积分及其应用1、定积分——求总量的模型2、微积分基本公式3、换元积分法、分部积分法4、定积分的应用举例5、广义积分一、引例abxyo引例1曲边梯形的面积（1）第一节定积分的概念与性质xyOaby=f(x)用n-1个分点：个小区间其长度设函数在区间上连续…………如上图，过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形．其面积为把分成(1)分割在每个小区间上任取一点设函数在区间上连续……以为高，以为底，作n个小矩形，其面积分别为,则(2)取近似(3)求和abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形

2、越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．(4)取极限观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形的面积由上图观察出：时即……实例2（求变速直线运动的路程）部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值(2)近似（1）分割（1）分割（3）求和（4）取极限(2)近似二、定积分的定义定义记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理2三、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：例1利用定义计算定积分解证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故五、小结１．定

3、积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值——定积分化整为零分割直（不变）代曲（变）近似练习题练习题答案对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．五定积分的性质证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4性质5性质5的推论：证（1）解于是证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解解证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积

4、分中值公式使积分中值公式的几何解释：解由积分中值定理知有使１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．小结思考题思考题解答例第二节　微积分基本定理变速直线运动中路程的两种表示另一方面设s(t)是t时刻物体所走过的路程,则在这段时间内物体所走过的路程为一、问题的提出?考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数是x的函数积分上限函数的性质证由积分中值定理得例定理2（原函数存在定理）定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式令牛顿—莱布尼茨公式

5、微积分基本公式表明：注意例1求原式例2设,求.解解例3求解由图形可知例4求解解面积例6求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证证令3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．练习题练习题答案定理一、换元公式第五节定积分的换元法证应用换元公式时应注意:（1）（2）应用换元公式时应注意:（1）（2）例1计算解令例2计算解例3计算解原式例4计算解令原式证奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积证（1）设（2）设例8计算几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的

6、换元法二、小结练习题练习题答案定积分的分部积分公式推导一、分部积分公式第五节定积分的分部积分法例1计算解令则例2计算解例3计算解例4设求解例5解例6证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止于是定积分的分部积分公式二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）练习题练习题答案一、无穷限的广义积分第七节广义积分例1计算广义积分解例2计算广义积分解证证二、无界函数的广义积分定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.例5计算广义积分解例6计算广义积分解故原广义积分发散.证例8计算广义积分解瑕点

7、无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（注意：不能忽略内部的瑕点）三、小结思考题积分的瑕点是哪几点？思考题解答积分可能的瑕点是不是瑕点,的瑕点是练习题练习题答案一、无穷限的广义积分的审敛法不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理．第八节广义积分的审敛法证由定理１知例如，例１解根据比较审敛法１，例２解所给广义积分收敛．证即收敛.例5解所以所给广义积分收敛.二、无界函数的广义积分的审敛法例6解由洛必达法则知根据极限审敛法2,所给广义积分发散.例7解

8、根据比较审敛原理,练习题练习题答案一、1、收敛；2、收敛；3、发散；4、收敛；问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、近似、求和、取极限.2、定积分的定义可积的两个充分条件：定理1定理23