《定积分习题》PPT课件

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1、1问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式一、主要内容21、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）3实例2（求变速直线运动的路程）方法:分割、近似、求和、取极限.42、定积分的定义定义5记为6可积的两个充分条件：定理1定理23、存在定理74、定积分的性质性质1性质2性质38性质5推论：（1）（2）性质49性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式105、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）11定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式126、定积

2、分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式13７、广义积分(1)无穷限的广义积分14(2)无界函数的广义积分15二、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题16三、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?17四、典型例题(1)例1.求例2.求例3.估计下列积分值例4.证明例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式明对于任何18

3、例1.求解:因为时,所以利用夹逼准则得19因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理,原式不对!说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.如,P265题420解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98)例2.求21思考:提示:由上题故22练习:1.求极限解：原式2.求极限提示：原式左边=右边23例3.估计下列积分值解:因为∴即24例4.证明证:令则令得故25例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明:对于任何26四、

4、典型例题(2)例6例7例8例9例10例11.选择一个常数c,使例12例1327例6解28例7解29例8解30例9解令31例10解32例11.选择一个常数c,使解:令则因为被积函数为奇函数,故选择c使即可使原式为0.33例12解是偶函数,34例13.设解:35四、典型例题(3)例14例15例1636例14证37例15证作辅助函数3839例16解(1)40(2)41四、典型例题(4)且由方程确定y是x的函数,求例17.例18.求可微函数f(x)使满足例19.求多项式f(x)使它满足方程例20.证明恒等式42例17.解：且由方程确定y是x的函数

5、,求方程两端对x求导,得令x=1,得再对y求导,得故43例18.求可微函数f(x)使满足解:等式两边对x求导,得不妨设f(x)≠0,则44注意f(0)=0,得45例19.求多项式f(x)使它满足方程解:令则代入原方程得两边求导:可见f(x)应为二次多项式,设代入①式比较同次幂系数,得故①再求导:46例20.证明恒等式证:令则因此又故所证等式成立.47例21.试证使分析:要证即故作辅助函数至少存在一点48证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点49思考:本题能否用柯西中值定理证

6、明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示:设辅助函数50例22.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内f(x)>0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与相异的点,使(03考研)51证:(1)由f(x)在[a,b]上连续,知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在52即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得5323.(01，Ⅳ)设在上连续，在可导，且满足证明：存在，使得24.(01，Ⅱ)设则极限25.(0

7、4，Ⅱ)设则√5426.设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（）0231-2-110231-2-110231-110231-2-11..55连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（）56测验题5758596061626364测验题答案65