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1、2021/8/30天津科技大学数学系谢中华E-mail:xiezhh@tust.edu.cnMATLAB从零到进阶多项式回归与数据插值2021/8/30主要内容多项式回归插值问题的数学描述一维插值二维插值高维插值2021/8/30第一节多项式回归2021/8/30一、多项式回归模型2021/8/30二、多项式回归的MATLAB实现[p,S,mu]=polyfit(x,y,n)自变量观测值向量因变量观测值向量多项式阶数1.polyfit函数的用法系数向量的估计值用于误差估计的结构体变量均值和标准差2021/
2、8/30[y,delta]=polyval(p,x,S)用户指定的自变量取值向量因变量估计值向量2.polyval函数的用法多项式系数向量用于误差估计的结构体变量误差标准差的估计值向量2021/8/30r=poly2sym(p,v)多项式的符号表达式3.poly2sym函数的用法多项式系数向量自变量符号或取值2021/8/30三、多项式回归案例【例20.1-1】现有我国2007年1月至2011年11月的食品零售价格分类指数数据，如表20.1-1所示。数据来源：中华人民共和国国家统计局网站月度统计数据。试根
3、据这59组统计数据研究全国食品零售价格分类指数y（上年同月=100）和时间x之间的关系。序号统计月度上年同月=100上年同期=100全国城市农村全国城市农村12007年1月104.9104.4105.9104.9104.4105.922007年2月105.8105.2106.9105.3104.8106.432007年3月107.7107.4108.3106.1105.7107……………………572011年9月113.5113.4114112.6112.4113.1582011年10月111.9111.8
4、112.2112.5112.3113592011年11月108.7108.8108.6112.2112112.62021/8/301.数据的散点图2021/8/302.四次多项式拟合假设y关于x的理论回归方程为调用polyfit函数求系数估计值>>p4=polyfit(x,y,4)p4=-0.00010.0096-0.39855.563594.2769>>r=poly2sym(p4);>>r=vpa(r,5)r=-0.000074268*x^4+0.0096077*x^3-0.39845*x^2+5.56
5、35*x+94.2772021/8/303.更高次多项式拟合调用polyfit函数作更高次（大于4次）多项式拟合，并把多次拟合的残差的模加以对比，评价拟合的好坏。>>[p5,S5]=polyfit(x,y,5);%5次多项式拟合>>S5.normr>>[p6,S6]=polyfit(x,y,6);%6次多项式拟合>>S6.normr>>[p7,S7]=polyfit(x,y,7);%7次多项式拟合>>S7.normr>>[p8,S8]=polyfit(x,y,8);%8次多项式拟合>>S8.normr>>
6、[p9,S9]=polyfit(x,y,9);%9次多项式拟合>>S9.normr2021/8/304.拟合效果图在以上拟合结果的基础上，可以调用polyval函数计算给定自变量处的因变量的预测值，从而绘制拟合效果图，从拟合效果图上直观地看出拟合的准确性。代码略。。。2021/8/302021/8/30第二节插值问题的数学描述2021/8/30一、什么是插值所谓插值就是在已知离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线（或曲面）通过全部已知的离散数据点，利用插值方法可通过函数在有限个点处的取值状况，估算
7、出函数在其他点处的近似值。一维插值问题的数学描述为：已知某一函数y=g(x)（g(x)的解析表达式可能十分复杂,也可以是未知的）在区间[a,b]上n+1个互异点xj处的函数值yj，j=0,1,…,n，还知道g(x)在[a,b]上有若干阶导数，如何求出g(x)在[a,b]上任一点x的近似值。二、一维插值问题的数学描述１．数学描述一维插值方法的基本思想是：根据g(x)在区间[a,b]上n+1个互异点xj（称为节点）的函数值yj，j=0,1,…,n，求一个足够光滑、简单便于计算的函数f(x)（称为插值函数）作为
8、g(x)的近似表达式，使得f(xj)=yj，j=0，1，…，n。（1）然后计算f(x)在区间[a,b](称为插值区间)上点x（称为插值点）的值作为原函数g(x)（称为被插函数）在此点的近似值。求插值函数f(x)的方法称为插值方法，（1）式称为插值条件。代数多项式比较简单，常用多项式作为插值函数。2．基本思想常用的一维插值方法有：分段线性插值、拉格朗日（Lagrange）多项式插值、牛顿（Newton）插值、Hermite插值、
