插值与数据拟合模型

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1、第二讲插值与数据拟合模型函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。一、插值方法简介插值问题的提法

2、是，已知个节点n1(x,y),j0,1,2,,n，其中互不相x同，不妨设jjjaxxxb，求任一插值点处的插值x*(x)y*。(x,y)可以看成是由某个函01njjj数yg(x)产生的，g的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。求解的基本思路是，构造一个相对简单的函数yf(x)，使通过全部f节点，即f(x)y(j0,1,2,,n)，再由计算插f(x)值，即y*f(x*)。jj1．拉格朗日多项式插值插值多项式从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设是n次多f(x)项式，记作nn1

3、L(x)axaxaxa（1）nnn110对于节点应(x,y)有jjL(x)y,j0,1,2,,n（2）njj为了确定插值多项式中L(x)的系数a,a,,a,a，将（1）代入（2），有nnn110nnaxaxaxayn0n101000nnanx1an1x1a1x1a0y1（3）nnaxaxaxaynnn1n1n0n记nn1xx100nn1x1x11TTX,A(a,a,,a),Y(y,y,,y)nn1001n

4、nn1xx1nn方程组（3）简写成XAY（4）注意是VadetXndermonde行列式，利用行列式性质可得detX(xkxj)0jkn因互不相同x，故detX0，于是方程（4）中A有唯一解，即根据个节n1点可以确定唯一j的n次插值多项式。拉格朗日插值多项式实际上比较方便的做法不是解方程（4）求A，而是先构造一组基函数：(xx)(xx)(xx)(xx)0i1i1nl(x),i0,1,2,,n（5）i(xx)(xx)(xx)(xx)i0ii1ii1inl(

5、x)是n次多项式，满足i1,ijli(xj)i,j0,1,2,,n（6）0,ij令nLn(x)yili(x)（7）i0显然是满足L(x)（2）的n次多项式，由方程（4）解的唯一性，（7）式表示的的L(x)解与nn（1）式相同。（5）、（7）称拉格朗日插值多项式，用计算插值L(x)称拉格朗日多项式插值n。误差估计插值的误差通过插值多项式与产生L(x)节点的之差(x,y)g(x)来估计，记作R(x)。虽njjn然我们可能不知道的g(x)解析表达式，但不妨设充g(x)分光滑，具有阶导数n1。利用泰勒展开可以推出，对

6、于任意x[a,b]。(n1)ng()Rn(x)g(x)Ln(x)(xxj)(a,b)（8）(n1)!j0若可以估计(n1)

7、g()

8、M（9）n1则nMn1

9、Rn(x)

10、

11、xxj

12、,(a,b)（10）(n1)!j0实际上因为M常难以确定，所以（10）式并不能给出精确的误差估计。但是可能看出，n1n增加，

13、R(x)

14、减少；g越光滑，M越小，

15、R(x)

16、越小；x越接近x，

17、R(x)

18、越小。nn1njn例将区间n等0,分，用产生个节yg(x)cosxn1点，然后作拉格朗日插

19、值多2项式。用L(x)计算cos（取4位有效数字）。估计

20、R(x)

21、（取n1,2）。nn6解若n1，则(x0,y0)(0,1),(x1,y1),0。由（5）、（7）式2x2x02xL(x)ylyl101100110022cosL10.666766若n2，则(x0,y0)(0,1)，(x1,y1),0.7071,(x2,y2),0，由（5）、（7）式。42xx(x0)x(x0)(

22、x)4224L(x)ylylyl10.70710200112200004244222481