函数方程与转化思想

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1、２０１３．４月份　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数，不等式，向量，三角函数函数方程与转化思想一、函数、方程思想在解决数学问题时，对于一些从形式上看是以非函数和非方程的问题出现的，但经过一定的数学变换或构造，使这一非函数或非方程的问题转化为函数和方程的形式，并运用函数和方程的有关性质来处理，进而使原数学问题得到很好的解决，这一思想方法，我们称它为“函数和方程的思想方法”。解题方法指导：用函数与方程的思想方法解题，就是对所给出的数学问题，经过从不同的角度仔细审视，看看此数学问题的解

2、法，与函数或方程是否有关联，若有关联，就可用函数或方程的有关性质来求解；若给出的数学问题从表面上看是非函数或非方程的问题，如果经过一番改造（转化）乃属于函数或方程的问题，此时就可用函数或方程的有关性质来求解。1．以函数的意识，求解函数的有关性质的问题：例：在中，，则的最大值为．２．以函数的意识，求解参数的问题：例：设不等式组表示的平面区域为，若指数函数的图像上存在区域上的点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　．３．以方程的意识，解求值、向量、复数的问题：例：（１）在等比数列中，若，则公比　　　，　　

3、　　．　（２）在等比数列中，若，则公比　　　，　　　　．例：（１）设等差数列满足．①求的通项公式；②求的前项和及使得最大的序号的值．6（6）２０１３．４月份　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数，不等式，向量，三角函数　　　　（２）设数列满足．　　　　　　①求数列的通项公式；①令，求数列的前项和．例：已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则　　．　　４．以方程的意识，求解析几何的问题：一、转化、化归思想转化与变换可统称为“转换”．“转化”是人们在日常生活中的用词；

4、“变换”是数学学科里的专有用词．实质上是个同义词．在解决数学问题时，常遇到一些问题如要直接求解受阻时，需将原问题转换成一个新问题（相对来说，是自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法，我们称它为“转化与变换的思想方法”．亦称“转换的思想方法”．是解决数学问题的基本方法．解题方法指导：数学解题就是实现从条件到结论的转换工作，因此讲清如何运用有关的数学思想来解决问题的过程，也就是渗透了矛盾转化这一唯物辩证法观点的教育．关于转换思想方法的实例，在代数中，式的恒等变形、方程的同解变形等

5、都是大家熟知的．又如解方程中从高次向低次、从多元向一元的转换，立体几何的空间问题与相应的平面问题的转换，都是转换思想的体现．转换可以使解题峰回路转．１．借助函数、方程（组）、不等式的有关性质实施转换：例：设，将按从小到大的顺序排列：　　　　　　　　．例：设函数，其中．①当时，求不等式≥的解集；②若不等式≤０的解集为，求的值．6（6）２０１３．４月份　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数，不等式，向量，三角函数例：已知圆的半径为１，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为　　　　　

6、　　．例：设是定义在上，以１为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为　　　　　　．例：已知数列的前n项和为，若令，且数列的前n项和为.（1）求证数列为等差数列，并写出关于n的表达式；（2）若不等式（为常数）对任意正整数n均成立，求的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.１．借助等价变换实施转换：例：（１）已知函数．　　　　　　　　①求的值；　　②求的最大值和最小值．　　　　　（２）已知函数．　　　　　　　　①求的值；　　②求的最大值和

7、最小值．6（6）２０１３．４月份　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数，不等式，向量，三角函数例：已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，，给出结论如下：①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”．　　　其中所有正确的结论的序号是　　　　　　　　　　．　例：在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则　　　　　　　．１．借助导数的有关性质实施转换：一、6（6）２０１３．４月份　　　　　　　　　

8、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数，不等式，向量，三角函数思想说明：１．所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合与对应的方法，去分析数学问题中的数量关系，建立函数关系或者构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，进而解决问题。２．方程的思想，就是分析数学问题中的数量关系，从而建立方程或方程组，或者用方程的性质去分析、转化问题，进而达到解决问题的目的。３．方程思想与函数思想密切相关。例如，对于函数，当时，