多元线性回归模型的延伸

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1、第四章多元线性回归模型的延伸模型的类型与变换受约束回归含虚拟变量的回归虚拟变量的性质含有虚拟变量的回归问题比较两个回归——虚拟变量法一、模型的类型与变换对数线性模型——测度弹性半对数模型——测量增长率倒数模型多项式回归说明在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的恩格尔曲线(Englecurves)表现为幂函数曲线形式，类似地还有生产函数等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。1.对数线性模型——测度弹性对数线性模型的特点：斜率系

2、数2测度了y对x的弹性：例2美国咖啡需求：1970-1980美国咖啡消费（y）与平均真实零售价格（x）数据如表，（x=名义价格/食品与饮料的消费者价格指数，1967年=100），求咖啡消费函数。输入数据散点图：确定函数形式：y-x;lny-lnx建立模型:lny=+lnx+i参数估计：咖啡需求的价格弹性为-0.2532.半对数模型-测度增长率假如要求GDP的增长率，有如下公式：yt=y0(1+r)t其中，yt：时间t的实际GDP;y0：实际GDP的初始值；r：y的复合增长率。两边取对数：lnyt=lny0+tln(1+r)令1=lny0，

3、2=ln(1+r)，并增加干扰项方程变为：lnyt=1+2t+i——半对数模型模型特点：2：测度了GDP的恒定相对增长率。例：求1956-1970年美国个人可支配收入的增长率X2:个人可支配收入，x3:时间变量模型：lnx2i=1+2ti+i求解过程结果：2=0.04228，说明56-70年间，美国个人可支配收入每年增长4.23%比较线性趋势模型：x2i=b2+b23ti+ib23=17.13,说明个人可支配收入每年平均增长17亿美元3.倒数模型模型特点：随着x无限增大，项趋于0，y趋于极限值。分三种类型：2>01<0xy-

4、12>01>0xy12<01>0xy1平均固定成本与产出水平菲利普斯曲线恩格尔曲线倒数模型的线性化：令原方程变为：y=1+2zi+i4.多项式回归模型关于参数线性令：作代换得:y=0+1xi+2x2i+i常用于成本和生产函数的计量经济分析课堂练习1观察下列方程并判断是否是线性回归方程课堂练习2以企业研发支出占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济

5、上是一个很大的影响吗？2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行检验。3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著影响？二、受约束回归经济理论有时会提出某一回归模型中系数满足一些线性等式约束条件——受约束最小二乘法例1：柯克·道格拉斯生产函数如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例的产出变化，则C-D函数有如下约束：2+3=1受约束回归例2需求函数：需求函数的零阶齐次性条件：当收入、价格和其他商品的价格等都增长倍时，对商品的需求量没有影响。受约束回

6、归例2（续）对最常用的对数线性模型可以用该条件检验实际建立的需求函数模型是否合理约束条件的检验：生产函数模型如果规模报酬不变，即每一同比例的投入变化有同比例的产出变化，则C-D函数有如下约束：2+3=12+3=1的检验（1）t检验法：先做无约束回归的估计得到2、3的估计值后，就可通过t检验来检验约束是否满足。t服从n-k的t分布（k:包括截距项的待估参数个数）例58-72年台湾农业C-D函数1958-1972年台湾地区农业部门的实际总产值、劳动日和实际资本投入数据如表，求生产函数。？例7规模报酬不变的t检验=0.05,=0.10，t

7、/2=2.179t/2=1.782遵循15-3=12的t分布结论：在5%的水平上不能拒绝原假设，农业经历规模报酬不变仍有可能不显著异于1注意：（2）F检验法：受约束最小二乘法基本思路：将约束条件纳入估计过程中。将2=1-3带入模型：产出与劳动比率资本与劳动比率对上式进行参数估计后，计算2=1-3，就可得到2值。这种估计方法保证了所估计的两投入系数之和必然等于1。可推广到含有任意多个解释变量、有多于一个线性等式约束的模型F检验法：受约束最小二乘法判断约束条件是否成立的F检验：H0:2+3=1F遵循分子自由度为m，分母自由度为(n-k

8、)的F分布。F还可以通过R2表达如下：用R2计算F：受约束和无约束模型中的因变量必须相同。例7受约束回归N=15,k=3,