2、膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气P288-2例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,P289-3面积为A的平板二、液体侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平
3、行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为P290-4说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数三、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a
4、单位处有一质量为m的质点M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算P291-5利用对称性由对称性,棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为说明:2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(a5、然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、(99考研)思考与练习提示:作x轴如图.1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x提升dx所作的功为米重50N,提升
6、抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉克服缆绳重:抓斗升至x处所需时间:克服抓斗自重:2.设星形线上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.同理故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为作业:P2912,3,5,9,12锐角取多大时,薄板所受的压力P最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:选取坐标系如图.设斜边
7、长为l,水中,并使一直角边与水面相齐,则其方程为问斜边与水面交成的故得唯一驻点故此唯一驻点即为所求.由实际意义可知最大值存在,即四、转动惯量(补充)质量为m的质点关于轴l的转动惯量为的质点系若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.关于轴l的转动惯量为例6.⑴求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;⑵求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:⑴建立坐标系如图.设圆盘面密度为.小圆环质量对应于的小圆环对轴l的转动惯量为故圆盘对轴l的转动惯量为设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘,平行y轴的细条关于y轴的转动惯量元素为细条质量:
8、故圆盘对y轴的转动惯量为⑵取旋转轴为y轴,建立坐标系如图.
