《复合函数》PPT课件(I)

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1、第二课时　复合函数1.要掌握复合函数的求导法则．复合函数对自变量的导数，等于该函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即y′x＝y′u·u′x.2.能综合运用函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，求一些初等函数的导数[形如f(ax＋b)型].1.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y＝f[φ(x)]是由①________和②________复合而成的．2．设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′u＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也

2、有导数，且y′x＝③________，或写作f′x[φ(x)]＝④________.3．复合函数y＝f(ax＋b)的导数为：[f(ax＋b)]′＝⑤________.自我校对：①y＝f(u)②u＝φ(x)③y′u·u′x④f′(u)·φ′(x)⑤af′(ax＋b)1.函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2)B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．答案：D2．函数y＝2sin3x的导数是()A．2cos3xB．－2cos3xC．6sin

3、3xD．6cos3x解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.答案：D答案：D一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]．如函数y＝(2x＋3)2，是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．特别注意以下几点：(1)分清复合函数

4、的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.例1说出下列函数分别由哪几个函数复合而成．[分析]解决复合关系问题的关键是正确分析函数的复合层次．[点拨]找复合函数的复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，一层一层的分析，最里层应为关于x的基本函数或基本函数的和与差．[解]函数的复合关系分别是：(1)y＝um，u＝a＋bxn；例2求y＝ln(2x＋3)的

5、导数．[分析]复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)．第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)．第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的自变量)．[点拨](1)复合函数求导三步曲形象直观，请同学们认真理解，在应用中首先应准确分层，然后能够正确地层层求导，最后作积还原时不要忘了将中间变量还原为原来的自变量．[分析]正确选定中间变量是正确求导的关键，同时应注意不可机械地照搬某种固定的模式，这样容易导致复合关系不准确．[点拨]对于复合函数的求导，应分析复合函数的

6、结构，灵活恰当地选取中间变量，正确使用求导公式求导．要遵循“分解——求导——回代”的原则进行．例4已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证f′(x)为奇函数．[解]证法一：由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，设f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．－f′(x)．所以f′(x)为奇函数．[点拨]对于抽象函数的求导，一方面要从其形式上，把握其结构特征，另一方面要充分运用复合关系的求导法则，进行求导运算．本例类似的结论是：若

7、奇函数f(x)是可导函数，则f′(x)是偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．[点拨]本题考查导数的综合应用，其中导数的几何意义是基础，函数的有关知识是解题的关键．