2参数方程知识讲解及典型例题

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1、参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：特殊：圆心是（0,0），半径为r的圆：一般：圆心在（x0，y0），半径等于r的圆：　　（为参数，的几何意义为圆心角），Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上

2、的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1）x=2+3cos（2）x=sin（3）x=t+y=3siny=cosy=t2+总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆：　　（为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：9Eg：求椭圆=1上的点到M（2,0）的最小值。3、双曲线的参数方程：

3、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线：　（为参数，代表离心角），中心在（x0，y0），焦点在x轴上的双曲线：4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：　　（t为参数，p＞0，t的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P0（x0，y0），倾角为的直线，P是直线上任意一点，设P0P=t，P0P叫点P到定点P0的有向距离，在P0两侧t的符号相反，直线的参数方程　　（t为参数，t的几何意义为有向距离）说明：①t的符号相对于点P0，正负在P0点两侧②｜P0P｜=｜t｜直线参数方程的变式：9，但此时t的几何

4、意义不是有向距离，只有当t前面系数的平方和是1时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得，让作为t，则此时t的几何意义是有向距离。Eg：求直线x=-1+3ty=2-4t，求其倾斜角.9极坐标与参数方程练习题[基础训练A组]一、选择题1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．3．将参数方程化为普通方程为（）A．B．C．D．4．化极坐标方程为直角坐标方程为（）A．B．C．D．5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．6．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个

5、圆二、填空题1．直线的斜率为______________________。2．参数方程的普通方程为__________________。3．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。94．直线被圆截得的弦长为______________。三、解答题1．已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。2．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。3．在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。[综合训练B组]9一、选择题1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A．B．C．D．2．参数方程为表示的曲线是（）A．

6、一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．4．圆的圆心坐标是（）A．B．C．D．5．与参数方程为等价的普通方程为（）A．B．C．D．6．直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．二、填空题1．曲线的参数方程是9，则它的普通方程为__________________。2．直线过定点_____________。3．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。4．曲线的极坐标方程为，则曲线的直角坐标方程为________________。5．设则圆的参数方程为__________________________。

7、三、解答题1．点在椭圆上，求点到直线的最大距离和最小距离。2．已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。9极坐标与参数方程练习题答案[基础训练A组]一、选择题1．D2．B3．C4．C5．C6．C二、填空题1．2．3．4．三、解答题1．解：（1）；（2）2．3．[综合训练B组]一、选择题1．C2．D3．D4．A5．D6．C二、填空题1．2．3．4．5．，当时，；当时，；而，即，得三、解答题1．当时，；当时，。92．解：（1）（2）9