2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练

2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练

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时间:2018-07-29

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1、极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾(一)曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即  并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.(二)常见曲线的参数方程如下:1.过定点(x0,y0),倾角为α的直线:  (t为参数)其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,对应于t点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义

2、,有以下结论..设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则==..线段AB的中点所对应的参数值等于.2.中心在(x0,y0),半径等于r的圆:  (为参数)3.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:    (为参数)  (或 )中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:第19页共19页    (为参数)  (或 )5.顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线:  (t为参数,p>0)直线的参数方程和参数的几何意义过定点P(x0,y0),倾斜角为的

3、直线的参数方程是  (t为参数).(三)极坐标系1、定义:在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数、对应惟一点P(,),但平面内任一个点P的极坐

4、标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P(,)(极点除外)的全部坐标为(,+)或(,+),(Z).极点的极径为0,而极角任意取.若对、的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定>0,0≤<或<0,<≤等.极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.3、极坐标与直角坐标互化公式:第19页共19页典型例题讲解极坐标考点一极坐标与直角坐标的互化1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为________.答案

5、:2.已知圆C:,则圆心C的极坐标为_______答案:()3.把点的极坐标化为直角坐标。4.曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解:将ρ=,sinθ=代入ρ=4sinθ,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.∴应选B.5.若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.解析 ∵ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2

6、ρsinθ+4ρcosθ.∴x2+y2=2y+4x,即x2+y2-2y-4x=0.6化极坐标方程为直角坐标方程为()A.B.C.D.7.极坐标ρ=cos()表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆第19页共19页解:原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ,∴普通方程为(x2+y2)=x+y,表示圆.应选D.考点二直线的极坐标方程的应用1.过点且与极轴垂直的直线方程为()A.B.C.D.2.在极坐标系中,直线过点且与直线()垂直,则直线极坐标方程为.答案:(或、)3.设点A的极坐标为,直线l过点

7、A且与极轴所成的角为,则直线l的极坐标方程为________________.[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程.【解析】∵点A的极坐标为,∴点A的平面直角坐标为(,1),又∵直线l过点A且与极轴所成的角为,∴直线l的方程为y-1=(x-)tan,即x-y-2=0,∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-2=0,可整理为ρcos=1或ρsin=1或ρsin=1.答案 ρcos=1或ρcosθ-ρsinθ-2=0或ρsin=1或ρsin=1.4.极点到直线的距离是_____________。解析:直线;点到直

8、线的距离是第19页共19页5.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为________.解析:∵直线l的极坐标方程可化为y=3,点化为直角坐标为(,1),∴点到直线l的距离为2.考点三圆的极坐标方程的应用1.在

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