2018年极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练

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1、极坐标和参数方程知识点+典型例题讲解+同步训练知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：　　（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义

2、，有以下结论．．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝．．线段AB的中点所对应的参数值等于．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：　　（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：　　　　（为参数）　　（或　）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：第19页共19页　　　　（为参数）　　（或　）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：　　（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的

3、直线的参数方程是　　（t为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐

4、标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋)或（，＋），(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、极坐标与直角坐标互化公式：第19页共19页典型例题讲解极坐标考点一极坐标与直角坐标的互化1.点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．答案

5、：2.已知圆C：，则圆心C的极坐标为_______答案：（）3.把点的极坐标化为直角坐标。4.曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.∴应选B.5.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析　∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2

6、ρsinθ＋4ρcosθ.∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.6化极坐标方程为直角坐标方程为（）A．B．C．D．7.极坐标ρ=cos()表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆第19页共19页解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sinθ)=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为(x2+y2)=x+y，表示圆.应选D.考点二直线的极坐标方程的应用1.过点且与极轴垂直的直线方程为（）A.B.C.D.2.在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为．答案：（或、）3.设点A的极坐标为，直线l过点

7、A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________．[审题视点]先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．【解析】∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为(，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝(x－)tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1.答案　ρcos＝1或ρcosθ－ρsinθ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1.4.极点到直线的距离是_____________。解析：直线；点到直

8、线的距离是第19页共19页5.在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．解析：∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，∴点到直线l的距离为2.考点三圆的极坐标方程的应用1.在