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时间:2018-11-16
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1、极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一)曲线的参数方程的定义:在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数,即 并且对于t每一个允许值,由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数叫做参变数,简称参数.(二)常见曲线的参数方程如下:1.过定点(x0,y0),倾角为α的直线: (t为参数)其中参数t是以定点P(x0,y0)为起点,对应于t点M(x,y)为终点的有向线段PM的数量,又称为点P与点M间的有向距
2、离.根据t的几何意义,有以下结论..设A、B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则==..线段AB的中点所对应的参数值等于.2.中心在(x0,y0),半径等于r的圆: (为参数)3.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: (为参数) (或 )中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程4.中心在原点,焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: (为参数) (或 )5.顶点在原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线: (t为参数,p>0)直线的参数方程和参数的几何意义过定
3、点P(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参数).(三)极坐标系1、定义:在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一
4、对有序实数、对应惟一点P(,),但平面内任一个点P的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P(,)(极点除外)的全部坐标为(,+)或(,+),(Z).极点的极径为0,而极角任意取.若对、的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定>0,0≤<或<0,<≤等.极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑴⑵⑶⑷⑸⑹4、圆相对于极坐
5、标系的几种不同的位置方程的形式分别为:⑴⑵⑶⑷⑸⑹5、极坐标与直角坐标互化公式:[基础训练A组]一、选择题1.若直线的参数方程为,则直线的斜率为()A.B.C.D.2.下列在曲线上的点是()A.B.C.D.3.将参数方程化为普通方程为()A.B.C.D.4.化极坐标方程为直角坐标方程为()A.B.C.D.5.点的直角坐标是,则点的极坐标为()A.B.C.D.6.极坐标方程表示的曲线为()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆二、填空题1.直线的斜率为_________________
6、_____。2.参数方程的普通方程为__________________。3.已知直线与直线相交于点,又点,则_______________。4.直线被圆截得的弦长为______________。5.直线的极坐标方程为____________________。三、解答题1.已知点是圆上的动点,(1)求的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围。2.求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离。3.在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离的最小值。一、选择题1.直线的参数方程为,上的点对应的参数是,则点与之间的距离是
7、()A.B.C.D.2.参数方程为表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线3.直线和圆交于两点,则的中点坐标为()A.B.C.D.4.圆的圆心坐标是()A.B.C.D.5.与参数方程为等价的普通方程为()A.B.C.D.6.直线被圆所截得的弦长为()A.B.C.D.二、填空题1.曲线的参数方程是,则它的普通方程为__________________。2.直线过定点_____________。3.点是椭圆上的一个动点,则的最大值为___________。4.曲线的极坐标方程为,则曲线的
8、直角坐标方程为________________。5.设则圆的参数方程为__________________________。三、解答题1.参数方程表示什么曲线?2.点在椭圆上,求点到直线的最大距离和最小距离。3.已知直线经过点,倾斜角,(1)写出直线的参数方程。(2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积。一、选择题1.把方程化为以参数的参数方程是()A.B.C.D.2.曲线与坐标轴的交点是()A.B.C.D.3
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