资源描述：
《数量积分的定义与概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六章多元数量值函数积分学n元数量值函数：n元向量值函数：————m唯向量如§6.1多元数量值函数积分的概念与性质一、物体的质量的非均匀细杆，通过分割、作乘积（近似）、求和、取极限的四个步骤，在一元函数的定积分中我们知道：线密度为即其质量可表示为设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D,1．求非均匀平面薄片的质量该小块质量近似为:看作均匀薄片，在点处的面密度，假定将其近似将薄片分割成n小块,(作乘积）分割：近似：（i=1,2,…,n)面密度为：D求和：（闭区域的直径：区域上任意两点间距离的最大者）（薄片总质量）取极限：2.非均匀空间立体的质
2、量设有一空间物体分布在有界闭区域V上，其体密度近似:小区域的质量的近似值将闭区域V任意分成n个小闭区域，表示它的体积，其中,表示第i个小闭区域，也在每个上任取一点为且在V上连续.求和：问该空间物体的质量是多少?分割:将 近似看作均匀的，(作乘积）取极限:分割求和取极限近似(作乘积）3．求非均匀空间曲线L的质量设分割近似求和取极限设其面密度为,点M在S上，且在S上连续.4．求非均匀空间曲面的质量直线细杆的质量：平面薄片的质量：空间立体的质量：曲线的质量：空间曲面的质量：综上所述：二、多元数量值函数积分的概念曲线段、平面区域、一片曲面、一个空
3、间区域），定义设为一有界闭的几何形体(可以是直线段、f(M)为有界函数,.将此几何形体任意分割成n个小块作乘积：如果不论对怎样分割，不论Mi在i上怎样选取有同一极限值,则称f(M)在上可积分此极限值称为数量值函数f(M)在几何形体上的积分。(其中为n个小块的最大直径)称为积分区域；称为被积表达式；注意:被积函数f(M)中的记为:[a,b]上直线细杆的质量：———f(x)在[a,b]上的定积分平面薄片Ｄ的质量：称为 在D上的二重积分，——叫面积元素。在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，则.称为 在V上的三重积分
4、，空间物体V的质量：——叫体积元素。的三组平面则.——称为 在L上的第一类曲线积分，——叫弧长元素。曲线L的质量：或对弧长的曲线积分.如果L是闭曲线，常记为：——称为 在S上的第一类曲面积分，——叫面积元素。或对面积的曲面积分.如果Ｓ是闭曲面，常记为：空间曲面S的质量：综上所述，有如下具体表达式（二重积分）（三重积分）（第一类曲线积分）（第一类曲面积分）特别地，为区间段[a,b]:（定积分）（证明略）（可积的充分条件）三、多元数量值函数可积分的充分条件：四、积分的性质性质1（线性性质）设以下性质中的积分都存在.设为常数，则性质2
5、.当被积函数f(M)≡1时，积分如：当被积函数f(x,y)≡1时=D的面积当被积函数f(x,y,z)≡1时=V的体积无公共内点，则设闭区域可分成两个闭区域且与如果在上满足f(M)g(M),则性质3（区域可加性）：性质4（保序性）：解例1比较积分与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程在D内有于是性质5(估值定理)最大值，则设m,M分别是f(P)在闭几何形体上的最小值和证明：解例2估计的值，其中D：区域面积在上的最大值的最小值性质6（积分中值定理）设f(M)在有界闭几何形体上连续，则存在M0
6、，证明:使得由介值定理知，………..关于的对称性：上述性质中的x=0可换为y=0或z=0，相应地被积函数f(M)中的变量就改为关于y或z的奇偶性。（证明略）性质7：oDXY解：积分域关于z=0面对称，被积函数是的奇函数,填空题：设（P89.1）证明：又g(M)不变号，不防设g(M)>0,则积分得因g(M)>0解练习:不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域：在上由性质5知§6.2二重积分的计算一、二重积分的几何意义：由下列三个面：（1）曲顶面S：z=f(x,y)0,（2）底面D：（即曲顶面的投影区域）（3）侧面：以D的边界线为准线母线平行于Z
7、轴的柱面。所围成的立体叫曲顶柱体。(如图所示)通过分割、求和、取极限，求曲顶柱体的体积V：近似、------是以D为底，以z=f(x,y)为曲顶面的曲顶柱体体积V.设f(x,y)0，一般地，是以D为底，以z=f(x,y)为曲顶面的曲顶柱体体积的代数和。二重积分 的几何意义当f(x,y)0时，为曲顶柱体体积V;当f(x,y)0时，为曲顶柱体体积的相反数–V;二、平面区域D的表示：1、X-型区域：穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.X-型区域D(如图)可以表示为：其中，[a,b]为区域D在x轴上的投影。y1
8、(x)为穿入点，y2(x)为穿出点，xY-区域D(如图)可表示为：2、Y-型区域：穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.其中，[c,d]]为区域D在y轴上的
