D61多元数量值函数积分的概念与性质

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1、第六章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分多元函数积分学及其应用三、积分存在的条件和性质第一节一、引例二、多元数量值函数积分的概念多元数量值函数积分的概念与性质第六章1.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,则可用其面密“分,匀,合,精”解决.1)“分”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.一、引例2)“匀”中任取一点3)“合”4)“精”则第k小块的质量解法:类似定积分解决问题的思想:2.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面

2、上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分,匀,合,精”1)“分”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“匀”在每个3)“合”则中任取一点小曲顶柱体4)“精”令两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分,匀,合,精”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:例如:物体为空间物质块。一般说来，设有一质量非均匀分布在某一几何形体上的物体，（这里几何形体可以是直线段、平面或连续，都可以按照以上四个步骤来计算其质量。空间区域，一片曲面或一段曲线），密度函数二

3、、多元数量值函数积分的概念定义:抽象其共性如果不论怎样划分，点怎样选取，极限都存在，则称f在上可积，且称此极限值为积分域被积函数被积式或积分微元即：注意：当积分域类型不同时，积分的具体表达式和名称也不相同(1)当为区间[a,b]时，M为x，积分为定积分(2)当为平面域(σ)时，M为(x,y)，积分为二重积分d称为面积微元，在直角坐标系下常写作引例1中平面薄板的质量:引例2中曲顶柱体体积:(3)当为空间域(V)时，M为(x,y,z)，积分为三重积分称为体积元素,在直角坐标系下常写作(4)当为一条曲线弧段(C)时，积分为对弧

4、长的曲线积分也称为第一型线积分,其中(C)称为积分路径(5)当为一片曲面(S)时，积分为对面积的曲面积分也称为第一型面积分三、积分存在的条件和性质定理1：上可积。函数f在上可积的必要条件是f在上有界。定理2：若是紧的且可度量，，则f在Ⅰ、积分存在的条件复习:定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)Ⅱ、积分的性质6.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则推论2.7.设则8.积分中值定理则至少存在一点使积分的性质设是紧的、可度量且被积函数可积1.线性性质(2)(1)2.对积分域的可加性3.积分不等式4.中值定理为一

5、有界连通闭集，则至少存在一点例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0