多元函数积分概念与性质.ppt

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1、将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、取极限”思想推广，运用到多元函数情形。第1节多元数量函数积分的概念和性质1.曲顶柱体的体积曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于Z轴的柱面为侧面，并以z=f(x,y)为顶的空间立体.一.两个实例：如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想.分割：把D任意分成n个小区域(同时用表示第i个小区域的面积），分别以的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，则原曲顶柱体分成了n个小的曲顶柱体。近似：任取，则以为底的小曲顶柱体体积:yxzDo求和：取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记则：

2、设有一物体对应于空间曲面,(x,y,z)为密度函数(连续），现要求该物体的质量m。2.质量：分割：把任意分成n小块，表示第i小块曲面的面积。近似：任取，则第i小块曲面的质量取极限：求和：二.数量函数积分的概念定义1二重积分；三重积分：其中称为积分域，f称为被积函数，f(M)d称为被积式或积分微元。几种具体的类型：第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）：第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：L称为积分路径。数量函数积分的几何意义：当时，=以D为底,以为顶的曲顶柱体的体积；数量函数积分的物理应用之一：三.积分存在的条件和性质.必要条件:f在上可积，则f

3、在上有界。1.线性性质：2.可加性3.积分不等式若则5.中值定理特别地，有若则的边界为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，D为底面，曲面由二重积分的几何意义知：以xoy平面上的区域为顶面的曲顶柱体的体积为第2节二重积分的计算一.直角坐标系中二重积分的计算：xbxaoyz任取，过x轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为，则先y后x的二次积分(累次积分)而该体积也可用定积分的方法求得:bxaoxyzX-型区域：任一平行y轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。上面假定，但实际上上公式对一般的也成立。对各种不同类型的积分区域D

4、，二重积分化为二次积分的情况总结如下：DaboyxoyxDabDdcoyxDcdoyxY-型区域：任一平行x轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。oy例1计算解oxy11解法一先对y后对x积分oyx例2法二先对x后对y积分oyx解由于的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分例3计算oyx1D注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有，只能先对x积分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。例4作出积分域，并改变积分次序：解原积分=(4,2)o解原积分=o(2,1)o

5、解原积分=解原积分o例5求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。解二.极坐标系下二重积分的计算则得极坐标系下的二重积分计算公式:作极坐标变换oxD若区域D可用极坐标的不等式oxDoxD若区域D可用极坐标的不等式oxD若区域D可用极坐标的不等式oxD若区域D可用极坐标的不等式oxDab解令则在极坐标系中，于是例6计算显然由于从而例7计算反常积分解设例6例6而从而因此例8将下列二次积分化为极坐标形式下的二次积分：解积分区域：D:在极坐标下，D：于是解在极坐标下，将D分为二部分表示：于是解在极坐标下，D分为二部分表示：于是解例9求Bernoulli双

6、纽线围成的面积A.解双纽线在极坐标下的方程为：由的周期性得图形的对称性，而且当从增加到时，由零增加到，再减少到零，于是可得如图所示的双纽线图形。（2）变换T：把uov平面上的区域一对一的变为D，定理1设（1）（3）(u,v),(u,v)在上具有一阶连续偏导数，且：三.二重积分的换元法二重积分的换元公式例10计算解于是例11求由曲线所围区域D的面积S。解令D于是例12求椭圆围成区域的面积A。解令广义极坐标，作业P93-97习题6.21(1)(b)2(3)3(2)4(1)(2)(3)6(2)7(2)(7)(9)8(2)(4)9(1)(3)10(2)(3)

7、(6)11(2)(3)12(1)(2)13(1)(2)14(1)16