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1、第六章多元数量值函数积分学n元数量值函数:n元向量值函数:————m唯向量如§6.1多元数量值函数积分的概念与性质一、物体的质量的非均匀细杆,通过分割、作乘积(近似)、求和、取极限的四个步骤,在一元函数的定积分中我们知道:线密度为即其质量可表示为设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域D,1.求非均匀平面薄片的质量该小块质量近似为:看作均匀薄片,在点处的面密度,假定将其近似将薄片分割成n小块,(作乘积)分割:近似:(i=1,2,…,n)面密度为:D求和:(闭区域的直径:区域上任意两点间距离的最大者)(薄片总质量)取极限:2
2、.非均匀空间立体的质量设有一空间物体分布在有界闭区域V上,其体密度近似:小区域的质量的近似值将闭区域V任意分成n个小闭区域,表示它的体积,其中,表示第i个小闭区域,也在每个上任取一点为且在V上连续.求和:问该空间物体的质量是多少?分割:将 近似看作均匀的,(作乘积)取极限:分割求和取极限近似(作乘积)3.求非均匀空间曲线L的质量设分割近似求和取极限设其面密度为,点M在S上,且在S上连续.4.求非均匀空间曲面的质量直线细杆的质量:平面薄片的质量:空间立体的质量:曲线的质量:空间曲面的质量:综上所述:二、多元数量值函数积分
3、的概念曲线段、平面区域、一片曲面、一个空间区域),定义设为一有界闭的几何形体(可以是直线段、f(M)为有界函数,.将此几何形体任意分割成n个小块作乘积:如果不论对怎样分割,不论Mi在i上怎样选取有同一极限值,则称f(M)在上可积分此极限值称为数量值函数f(M)在几何形体上的积分。(其中为n个小块的最大直径)称为积分区域;称为被积表达式;注意:被积函数f(M)中的记为:[a,b]上直线细杆的质量:———f(x)在[a,b]上的定积分平面薄片D的质量:称为 在D上的二重积分,——叫面积元素。在直角坐标系下用平行于
4、坐标轴的直线网来划分区域D,则.称为 在V上的三重积分,空间物体V的质量:——叫体积元素。的三组平面则.——称为 在L上的第一类曲线积分,——叫弧长元素。曲线L的质量:或对弧长的曲线积分.如果L是闭曲线,常记为:——称为 在S上的第一类曲面积分,——叫面积元素。或对面积的曲面积分.如果S是闭曲面,常记为:空间曲面S的质量:综上所述,有如下具体表达式(二重积分)(三重积分)(第一类曲线积分)(第一类曲面积分)特别地,为区间段[a,b]:(定积分)(证明略)(可积的充分条件)三、多元数量值函数可积分的充分条
5、件:四、积分的性质性质1(线性性质)设以下性质中的积分都存在.设为常数,则性质2.当被积函数f(M)≡1时,积分如:当被积函数f(x,y)≡1时=D的面积当被积函数f(x,y,z)≡1时=V的体积无公共内点,则设闭区域可分成两个闭区域且与如果在上满足f(M)g(M),则性质3(区域可加性):性质4(保序性):解例1比较积分与的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程在D内有于是性质5(估值定理)最大值,则设m,M分别是f(P)在闭几何形体上的最小值和证明:解例2估计的值,其
6、中D:区域面积在上的最大值的最小值性质6(积分中值定理)设f(M)在有界闭几何形体上连续,则存在M0,证明:使得由介值定理知,………..关于的对称性:上述性质中的x=0可换为y=0或z=0,相应地被积函数f(M)中的变量就改为关于y或z的奇偶性。(证明略)性质7:oDXY解:积分域关于z=0面对称,被积函数是的奇函数,填空题:设(P89.1)证明:又g(M)不变号,不防设g(M)>0,则积分得因g(M)>0解练习:不作计算,估计的值,其中是椭圆闭区域:在上由性质5知§6.2二重积分的计算一、二重积分的几何意义:由下列三个
7、面:(1)曲顶面S:z=f(x,y)0,(2)底面D:(即曲顶面的投影区域)(3)侧面:以D的边界线为准线母线平行于Z轴的柱面。所围成的立体叫曲顶柱体。(如图所示)通过分割、求和、取极限,求曲顶柱体的体积V:近似、------是以D为底,以z=f(x,y)为曲顶面的曲顶柱体体积V.设f(x,y)0,一般地,是以D为底,以z=f(x,y)为曲顶面的曲顶柱体体积的代数和。二重积分 的几何意义当f(x,y)0时,为曲顶柱体体积V;当f(x,y)0时,为曲顶柱体体积的相反数–V;二、平面区域D的表示:1、X-型区
8、域:穿过区域内部且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.X-型区域D(如图)可以表示为:其中,[a,b]为区域D在x轴上的投影。y1(x)为穿入点,y2(x)为穿出点,xY-区域D(如图)可表示为:2、Y-型区域:穿过区域内部且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.其中,[c,d]]为区域D在y轴上的