数学期望的定义与性质

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1、一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结2.4数学期望的定义与性质离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。一、随机变量的数学期望引例某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手表的日走误差，数据如下：这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：记作为事件“日走时误差为k秒”的频率：平均值=1.离散型随机变量的数学期望思考：1、为什么要绝对收敛？2、若不绝对收敛会有什么结果？设离散型随机变量的可能的取值为，其分布

2、列为若绝对收敛，则称随机变量存在数学期望关于定义的两点说明(1)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.例2二项分布则有设随机变量服从参数为n,p二项分布,其分布列为则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np例3泊松分布则有例4在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如

3、果当地有N个人，若逐个检验需要N次，有没有办法减少检验的工作量？析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即可，则这k人每人需检验(1+1/k)次，从而k个人需要检验总次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。例5几何分布则有若g(x)为的单值函数,1.一维离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望证明由数学期望的定义有：定理2.3若是二维随机变量，其联合分布列为又是实变量的单值函数，如果2.二维离散型随机变量函数的数学期望1证明三、数学期望的性质解例6四、小结数学期望是一个实数,而非变量,

4、它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质作业：27；31；32；333.常见离散型随机变量的数学期望根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1你知道自己该交多少保险费吗?备份题解设1年中死亡人数为X,被保险人所得赔偿金的期望值应为若设每人一年须交保险费为a元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知故每人1年应向保险公司交保险费4元.解例2设求:到站时刻概率例3解