证明角相等地方法

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1、实用文档添辅助线的规律 （一）添辅助线的目的：   解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。这种思路可称为条件集中法。   为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的几何关系（性质定

2、理）解题，这就需要添加辅助线。   添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：   ⑴由所求决定：问什么，先要作什么。   ⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。   ⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。（二）添辅助线的规律：   （1）三角形中：    ①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。如图1）   ②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊

3、性质。如图2）标准文案实用文档   ③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。如图3）；   或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。如图4）；   或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图7、8）。或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。如图9）。   ④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。如图11）。   ⑤有角

4、平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构造两个全等Δ。如图12、13）   ⑥有角平分线遇垂线：常延长垂线（构造等腰Δ。如图14）。   （二）梯形：   ①延长两腰交于一点（构造两相似Δ。如图15），   ②由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和一平行四边形。如图16）。标准文案实用文档   ③由小底的两端作大底的垂线（构造两直角Δ和一矩形。如图17）。   ④有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中有两对角线及上下两底和的Δ和一平行四边形。如图18）。   ⑤连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等Δ及一与

5、梯形等高等积的Δ。如图19）。   ⑥过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等Δ及与梯形等积的平行四边形。如图20）。   ⑦过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和两个平行四边形。如图21）。   （三）圆：   ①有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造直角Δ，便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图22）。   ②有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三个相似的直角Δ，便于运用直角Δ的性质及射影定理。如图23）。标准文案实用文档   ③有圆内接四边形

6、：连对角线（构造较多相等的圆周角。如图24）；或延长四边形的某一边（构造与内对角相等的外角。如图25）。   ④圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；或作过切点的弦及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图26）。   ⑤圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心的连线（构造两全等的直角三角形）；或作过交点和加以的割线（便于运用切线割线定理）；或连结两切点（构造一等腰Δ、三对全等的直角Δ、被切线交点与圆心的连线垂直平分的弦，便于运用等腰Δ、直角Δ、全等Δ以及射影定理。如图27）。   ⑥有相交弦或相交于圆外的割线切线：连结不同弦的端点或不同割线在圆上的

7、交点（构造相似Δ，便于运用比例线段及Δ外角定理。如图28、29、30）。标准文案实用文档   ⑦两圆相交：作连心线、公共弦，甚至两圆心到公共弦两端点的连线（构造两等腰Δ、补全一筝形，便于运用连心线垂直平分公共弦的定理。如图31）。   ⑧两圆外切：作连心线及内、外公切线、连切点、连半径（构造一集中有两条弦及外公切线长的直角Δ、一集中有两圆半径、半径之和及外公切线长的直角梯形。如图32）。   ⑨两圆内切：作连心线及外公切线（便于运用连心线与公切线的垂直关系