数学建模模糊数学方法

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1、数学建模——模糊数学方法主讲人：张先君模糊数学方法模糊集的基本概念模糊综合评判模糊聚类分析模糊集的基本概念模糊子集与隶属函数隶属函数的确定模糊矩阵及运算与性质模糊子集与隶属函数设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例设论域，例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(

2、170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为也可用Zadeh表示法：还可用向量表示法A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)模糊集的运算相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)≤B(x)；并：A∪B的隶属函数为(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隶属函数为(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).例设论域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商

3、品质量好”B=“商品质量坏”，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见AcB,BcA.又A∪Ac=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,A∩Ac=(0.2,0.45,0,0.3,0).隶属函数的确定1.模糊统计方法与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不

4、动的点”.2.指派方法一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。3.借用已有的“客观”尺度模糊矩阵设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.模糊矩阵及运算与性质模糊矩阵间的关系及并、交、余运算设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义相等：A=Baij=bij；包含：A≤Baij≤bij；并：A∪B=(aij∨bij)m×n；交：A∩B=(aij∧bij)m×n；余：A

5、c=(1-aij)m×n.设A=(aik)m×s，B=(bkj)s×n，称模糊矩阵A°B=(cij)m×n，为A与B的合成，其中cij=∨{(aik∧bkj)

6、1≤k≤s}.模糊矩阵的合成模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=A°A，A3=A2°A，…，Ak=Ak-1°A.模糊矩阵的转置定义设A=(aij)m×n,称AT=(aijT)n×m为A的转置矩阵，其中aijT=aji.转置运算的性质：性质1：(AT)T=A；性质2：(A∪B)T=AT∪BT，(A∩B)T=AT∩BT；性质3：(A°B)T=BT°AT；(An)T=(AT)n；性质4

7、：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤BAT≤BT.模糊矩阵的λ－截矩阵设A=(aij)m×n,对任意的∈[0,1]，称A=(aij())m×n,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij≥时，aij()=1；当aij＜时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.模糊综合评价模型对方案、人才、成果的评价，人们的考虑的因素很多，而且有些描述很难给出确切的表达，这时可采用模糊评价方法。它可对人、事、物进行比较全面而又定量化的评价，是提高领导决策能力和管理水平的一种有效方法。模糊综合评价的基本步骤：（1）首先要求出模糊评价矩阵P，

8、其中Pｉｊ表示方案X在第i个目标处于第j级评语的隶属度，当对多个目标进行综合评价时，还要对各个目标分别加权，设第i个目标权系数为Wｉ，则可得权系数向量：A＝（W1，W2，…Wｎ）（2）综合评判利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B　　B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的不同定义，可得到不同的模型模型1M（Λ，V）——主因素决定型模型2M（٠，ν）——主因素突出型模型3M（٠，+）——加权平均型例1：对某品牌电视机进行综合模糊评价设评价指标集合：U＝｛图像，声音，价格｝；评语集合：V＝｛很好，较好，一般，不好｝；首先对图像进行评价：假设

9、有30%的人认为很好，50%的人认为较好，20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为（0.3,0.5,0.2,0)同样对声音有：0.