高一数学必修1：函数的单调性x

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1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义增函数减函数定　义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)1.单调函数的定义增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是上升的逐渐逐渐下降的[思考探究]如图所示函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋

2、∞)吗？提示：不是，其单调增区间为(－∞，0]和(0，＋∞)2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间.增函数减函数区间D3.最值的定义1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A.y＝－x＋1B.y＝C.y＝x2－4x＋5D.y＝解析：∵函数y＝的单调增区间为[0，＋∞)，∴函数y＝在(0,2)上为增函数.答案：B2.函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A.k＞B.k＜C.k＞

3、－D.k＜－解析：∵函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减数，∴2k＋1＜0，∴k＜－.答案：D3.若函数y＝ax与y＝－(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－＜0，∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)是减函数.答案：B4.如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x

4、1≠x2)，下列结论中正确的有.①＞0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；③f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)；④＞0.解析：∵f(x)在[a，b]上为增函数.∴x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同.∴①②④均正确.又∵不知道x1，x2的大小，∴无法比较f(x1)与f(x2)的大小，故③错误.答案：①②④5.已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是.解析：①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上为减函

5、数；②当a>0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝必在x＝3的右边，即≥3，故0

6、－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论.(4)判断：根据定义得出结论.2.(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数).(2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减”.讨论函数f(x)＝(a＞0)的单调性.[思路点拨][课堂笔记]∵f(x)＝，∴函数的定义域为{x

7、x∈R且x≠1}.法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜

8、x2，则f(x1)－f(x2)＝(a＋)－(a＋)＝＝.①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.法二：(导数法)∵f′(x)＝，又∵a＞0，∴f′(x)＜0在(－∞，1)∪(1，＋∞)上恒成立，即函数f(x)在(－∞，1)和(1

9、，＋∞)上均为减函数.法三：(图象法)由f(x)＝a＋可知其图象对称中心是(1，a)，x＝1，y＝a是它的两条渐近线，故其图象如图所示，∴f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.讨论函数f(x)＝(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.解：设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝＝.∵－1＜x1＜x2＜1，∴

10、x1

11、＜1，

12、x2

13、＜1，x2－x1＞0，－1＜0，－1＜0，

14、x1x2

15、＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0