图论初步与矩阵方程

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1、第12章电路方程的矩阵形式重点关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式12.1图的矩阵表示电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的KCL和KVL方程。图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵1.关联矩阵一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述ajkajk

2、=1支路k与结点j关联，方向背离结点。ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点ajk=0支路k与结点j无关Aa=nb支路b结点n每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，矩阵Aa的每一个元素定义为：例Aa=1234123456支结-1-10100001-1-1010001101-100-1每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。1２３６５４①②④③关联矩阵Aa的特点：引入降阶关联矩阵AA=(n-1

3、)b支路b结点（n-1）设④为参考节点,得降阶关联矩阵A=123123456支结-1-10100001-1-101000111２３６５４①②④③设③为参考节点,得降阶关联矩阵Aa=124123456支结-1-10100001-1-1001-100-1注给定A可以确定Aa，从而画出有向图。引入关联矩阵A的作用：设:用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程1２３６５４①②④③-1-10100001-1-10100011[A][i]=矩阵形式的KCL:[A][i]=0以④为参考节点n-1个独立方程1２３

4、６５４①②④③设:用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程2.回路矩阵B1支路j在回路i中方向一致-1支路j在回路i中方向相反0支路j不在回路i中bij=一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。[B]=lb支路b独立回路l每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵B的每一个元素定义为：2。支路排列顺序为先树支后连支，回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定：1。连支电流方向为回路电流方向例取网孔为独立回

5、路，顺时针方向1231２３６５４①②④③123B=123456支回01110000-10-111-1000-1注给定B可以画出有向图。选4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt1]01-1001BtBl1２３６５４①②④③例设矩阵形式的KVL：[B][u]=01２３６５４①②④③引入回路矩阵[B]的作用：用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程[B][u]=1-101001-1101001-1001BtBl[Bf][u]=0可写成Btu

6、t+ul=0ul=-Btut设连支电压用树支电压表示用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程矩阵形式的KCL：[B]T[il]=[ib][Bf]=[Bt1]树支电流用连支电流表出1２３６５４①②④③独立回路电流3.基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路，矩阵Q的每一个元素定义为：qij=1支路j在割集i中且与割集方向一致-1支路j在割集i中且与割集方向相反0支路j不在割集中割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。[Q]=(n-1)b支路b割集数规定：(

7、1)割集方向为树支方向(2)支路排列顺序先树支后连支(3)割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵[Qf]1２３６５４①②④③例选4、5、6支路为树Q1:{1,2,4}Q2:{1,2,3,5}Q3:{2,3,6}Q=456123支割集Q1Q2Q3100-1-1001011-10010-11QlQt设矩阵形式的KCL：引入基本割集矩阵[Qf]的作用：用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程1２３６５４①②④③100-1-1001011-10010-11[Qf][ib]=

8、矩阵形式的KCL：[Qf][ib]=0设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u4u5u6]T用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程1２３６５４①②④③矩阵形式的KVL：[Qf]T[ut]=[ub]连支电压用树支电压表示QQi=0QTut=u小结：ul=-BtutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=0对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵[Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示