投资者的效用函数

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1、上一节课程内容复习第二章第二节　风险资产组合的有效边界允许卖空时的有效边界第三节　有效边界的求解含做空的资产组合表示方法一、允许卖空且可以无风险借贷含做空的资产组合之例假设投资者有100元，他卖空价值900元的证券A，购买价值1000元的证券B，如何表示此资产组合？含做空的资产组合练习题（42页）假设投资者拥有１００元可以投资于证券Ａ和证券Ｂ。投资者可以将资金全部投资于证券Ａ，获得１４元的收益，即１４％的收益率。另一方面，投资者也可以卖空价值１０００元的证券Ｂ，购买价值１１００元的证券Ａ，则资产组合的期望收益为１５４元，而借入证券Ｂ的成本为８０元，因此，最

2、初１００元的投资，可以获得７４元（１５４－８０）的收益，即期望收益率为７４％。期望收益率从１４％增加到７４％，但是标准差也从６％增加到５７．２％，试写出计算过程。含做空的资产组合练习题（42页）最大化目标函数为：约束条件为：一、允许卖空且可以无风险借贷练习题考虑三种证券：Ｃ公司的股票，期望收益率为10%，收益率的标准差为7%；Ｓ公司的股票，平均收益率为8％，收益率的标准差为6％；Ｕ公司的股票，平均收益率为18％，收益率的标准差为13％。此外，假设Ｃ公司和Ｓ公司之间的相关系数为0.5，Ｃ公司和Ｕ公司之间的相关系数为0.3，Ｓ公司和Ｕ公司之间的相关系数为0.2

3、。最后假设无风险借贷利率为4％。假设允许卖空且可以无风险借贷。求切点资产组合G与有效边界。一、条件重述二、解方程：解题过程三、代入公式：第三章　投资者风险偏好与最优资产组合第一节投资者的效用函数第一节投资者的效用函数0效用U100财富W100100100000例1考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他不喜欢的工作。（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是不喜欢的，他仍会去干；（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很可能不干了。一、效用

4、一、投资者的效用资产组合A资产组合B情景1212期末财富（元）2000400018004000效用11.80.61.8概率0.50.50.40.6期望期望财富期望效用效用最大化准则投资者会选择组合Ｂ，而放弃组合Ａ。300031201.41.320效用U100财富W100100100000（一）效用函数的一阶导数为正随着财富增加，效用也将增加。非饱和性：二、效用函数的性质（二）效用函数随投资者风险偏好而变化表３-２　一个等价变量称变量X为等价变量。等价变量：也称变量y为X的确定性等价量。二、效用函数的性质１．风险厌恶型投资者的效用函数风险厌恶意味着投资者将拒

5、绝一个等价变量。表３-２　一个等价变量如果以U(W)表示效用函数，U″(W)表示效用函数的二阶导数，风险厌恶意味着U″(W)<0。√２．风险中性型投资者的效用函数风险中性是指投资者不在意一个等价变量，或者说一个等价变量不影响投资者的决策。对风险中性的投资者而言，其效用函数的二阶导数为０表３-２　一个等价变量√√３．风险偏好型投资者的效用函数风险偏好是指投资者愿意选择一个等价变量。表３-２　一个等价变量√效用函数的二阶导数为正风险偏好类型总结表３-３　投资者风险态度与效用函数投资者财富增加风险投资增加？固定绝对风险厌恶不变增加递减绝对风险厌恶减少递增绝对风险

6、厌恶（三）投资者风险态度与绝对风险厌恶度投资者的绝对风险厌恶程度（３-４）表３４　绝对风险厌恶相对于财富的变化绝对风险厌恶程度的度量上式对财富W的一阶导数是R′(W)。表３５　随财富变化的相对风险厌恶相对风险厌恶程度的度量三、效用函数与资产组合选择一般认为，大多数投资者是属递增绝对风险厌恶的。因此，最常见的投资者的效用函数应是二次型的，即：它的一阶和二阶导数为：对W的限制：（四）投资者风险态度与相对风险厌恶度投资者财富增加风险投资比例增加？固定相对风险厌恶不变增加递减相对风险厌恶减少递增相对风险厌恶投资者相对风险厌的恶度在此限定条件下，绝对风险厌恶度和相对

7、风险厌恶度的函数式及它们的一阶导数将为：二次型效用函数对应的厌恶度二次型效用函数具有递增绝对风险厌恶的性质。二次型效用函数必然也是递增相对风险厌恶。如果投资的收益率服从正态分布（即满足马科维茨均值—方差分析假设条件），同时投资者效用函数为二次型，那么不论投资者的风险偏好程度如何，他们在资产组合的有效边界（有效集）中总能确定一个最优资产组合。二次型效用函数与均值—方差模型的关系第二节　效用无差异曲线与最优资产组合一、资产组合效用函数的类型二、期望效用无差异曲线三、最优资产组合的选择一、资产组合效用函数的类型（一）凸性效用函数投资收益率的边际效用递减一、资产组

8、合效用函数的类型（二）凹性效用函数投资收益率的边际效用递增一、资产