《初等连续性》PPT课件

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1、§2.2连续函数的运算与初等连续性定理1例1由于连续性是特定的极限形式,借助极限的四则运算法则,可得到连续函数的如下运算性质:一、连续函数的运算性质1.四则运算例2设均在上连续,证明函数也在上连续.证根据连续函数运算法则,可知也在上连续.2.反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调、连续的反函数.例如,在上单调递增且连续,故在上也单调递增且连续.同理,在上单调递减且连续;而在上单调递增且连续,在上单调递减且连续.小结三角函数及其反函数在其定义域内皆连续.注意到前述运算性质及三角函数的连续性,我们有定理3连续函数的复合函数是连续的.证设函数于是故复合函

2、数且即3.复合函数的连续性在上连续单调递增,又如,其反函数在上也连续单调递增.由连续函数链因此在上连续.复合而成,附注定理3的意义与应用：1)给出了变量代换的理论根据：例3函数例4求解原式例5求解令则原式特别对有2)给出了复合函数求极限的简洁方法----极限符号与函数符号可以交换顺序.例6求解原式说明若则有（待证）二、初等函数的连续性指数函数在上述运算性质的基础上,由于在上单调而连续;从而在上单调连续;进而,幂函数对的不同取值,在相应的定义域上均连续.综上所述并结合初等函数的定义,即得如下的:定理5基本初等函数在定义域内连续.定理6初等函数在其定义区间上连续.

3、说明定义区间是指包含在定义域内的区间.1)初等函数仅在其定义区间内连续,而在整个定义域内不一定连续.例如,但在原点x=0的邻域内没有定义,注意2)由此给出了初等函数求极限的最基本方法-----代入法：的定义域为上连续.故仅在区间例7例8解解内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.思考与练习续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?提示:“反之”不成立.2.阅读：书P42例3；1.三、作业课后练习(P42

4、):思考题;习题1②③;3;书面作业(P42):习题1①④;2;