《函数的分布》PPT课件(I)

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1、第三节二维随机变量函数的分布在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们学习了二维随机变量，来进一步讨论:当二维随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的联合分布?(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pp11p12…pij…Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)…g(xi,yj)…一、离散型分布的情形设二维离散型随机变量(X，Y)，(X,Y)～P(X＝xi,Y＝yj)＝pij，i,j＝1,2,…则Z＝g(X,Y)～P(Z＝zk)＝＝pk,k＝1,2,…或例1设（X,Y)的概率分布为

2、：YX-10200.10.2010.30.050.120.1500.1求的概率分布。(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,2)(1,-1)(1,0)(1,2)(2,-1)(2,0)(2,2)p0.10.200.30.050.10.1500.1X+Y-102013124XY000-102-204ξ=X+Y-101234p0.10.50.200.10.1η=XY-1-2024p0.150.30.350.10.1因此，X+Y与XY的分布列分别为例2若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y

3、的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…同书中P95例3.3.2解：依题意例3若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布(可加性).r=0,1，…同书中P96例3.3.3.例4设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A

4、出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).二、连续型分布的情形设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x,y),z=g(X,Y)为连续函数，则z=g(X,Y)为一维r.v.,它的分布函数为-----分布函数法例5设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y

5、的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令u=x+y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度为确定积分限,先找出使被积

6、函数不为0的区域例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是同课后习题三15用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.例7(书中例3.3.5)若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:一般地，设随机变量X1,X2，...,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,...,n,

7、则例8从前面例子可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=

8、max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是