《函数及性质》PPT课件

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1、高等数学的基础函数极限—研究的对象—研究的方法函数极限连续第一章第一节函数及性质一、集合与区间三、函数的几种特性四、反函数五、复合函数、二、函数概念第一章初等函数1.集合的概念定义集合中的每个事物称为该集合的元素.元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).具有某种特定性质的事物所组成的总体称为集合.一、集合与区间若集合A的每一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集，定义记作或表示A是B的真子集.如果集合A与集合B互为子集,即且就称A与B相等.记作BA(1)列举法：例：有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征

2、按某种方式列出集合中的全体元素.注设M为数集,则表示M中排除了0的集;表示M中排除了0与负数的集.2.集合的表示法例整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间常用集合记号:R:实数集合;N:自然数集合;Z:整数集合;Q:有理数集合;C:复数集合.(1)区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,实数集实数集即即3.区间和邻域无穷区间:半开区间：以上这些区间统称为有限区间.(2)点a的邻域:其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.点a的去心邻域:点a的左邻域:点a的右邻域:二、映射引例

3、1某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座1.映射的概念引例2f:定义设X,Y是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,使得有唯一确定的和它对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的象,记作元素x称为元素y在映射f下的一个原象.集合X称为映射f的定义域,记作Y的子集称为映射f的值域,记作特别地,当Y是实数集合时,称f为定义在X上的泛函.若X,Y均为实数集合,则称f为定义在X上的一元函数.注2°在不同数学分支中,映射f又可称为变换或算子.3°元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.1°映射的三要素：

4、定义域,对应规则,值域.如：2.几类常见的映射对映射(1)若,则称f为满射;(2)若有则称f为单射;(3)若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射(或写成1-1映射).三、函数的概念及图形1.函数的概念定义1设数集则称映射为定义在D上的一元函数,记为x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,f(D)称为值域.函数图形:称点集为函数f的图形.定义域值域对应法则注1º函数的二要素定义域D对应法则fRf对应法则f自变量因变量例1下列各组函数是否相同？(1)答：不同,因为二者定义域不同.前者的定义域为(2)而后者的定义域为答：不同,因为二者的对应法则不同.注xyO

5、答：相同.(3)两个函数是否相同，仅取决与D和f，而与f的表达形式无关，也与变量的记号无关!2°定义域：使表达式及实际问题都有意义的自变量所能取得的一切实数值所组成的集合.例2解1-1xyo(1)符号函数2.几个特殊的函数举例(2)绝对值函数xyO(3)取整函数y=[x],xR阶梯曲线[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyO3421四、函数可能具有的几种特性设函数又数集1.有界性则称在I上有界.为有界函数.M-MyxOy=f(x)X注1°还可定义有上界、有下界.则称f(x)在I上无界.称为有上界称为有下界使得2°f(x)

6、在数集I上无界：xyOM1有上界xyOM2有下界M-MM-MxyOX函数有界既有上界又有下界4°函数有界与否与数集I密切相关;3°xyO1M-M在I上单调减少.当时,称在I上单调增加；称单调增加或单调减少的函数统称为单调函数.2.单调性注函数单调与否同所论区间有关.有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,则当为奇函数时,3.奇偶性yxOx-x偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形关于原点对称例3证令则由消去得显然又故为奇函数.且证明时其中为常数,且为奇函数.设4.周期性且则称为周期函数,若称T为周期.周期为周期为(通常说周期

7、函数的周期是指其最小正周期).例如:①常量函数②狄里克雷函数x为有理数,x为无理数;注1°周期函数的定义域既无上界也无下界.思考：是周期函数吗？2°并非任何一个周期函数都有最小正周期.答：不是.每一个正数都是其周期.每一个正有理数都是其周期.这两个函数均无最小正周期!五、反函数与复合函数1.反函数的定义及性质定义若函数是一一映射,则存在其使其中称此映射为f的反函数.逆映射习惯上,的反函数记成例如,函数其反函数为性质:(1)函数与其反函数的图形关于直线对称.其反函数(减)(减).(2)单调递增也单调递增例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称

8、.指数函数xyO例4解分段函数的反函数