《函数凹凸性》PPT课件(I)

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1、第五节机动目录上页下页返回结束一、曲线的凸性曲线的凸性与函数作图第三章二、渐近线三、函数的作图定义1.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是下凸的;或称f(x)为I上的下凸函数。一、曲线的凸性机动目录上页下页返回结束弦在弧的上方；切线在曲线的下方。(2)若恒有则称图形是上凸的;或称f(x)为I上的上凸函数。弦在弧的下方；切线在曲线的上方。下凸也称为凸，上凸也称为凹。机动目录上页下页返回结束定义1´：设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是下凸的;（弦在弧的上方，或切线在曲线下方）(2)若恒有则称图形是上凸的.（

2、弦在弧的下方，或切线在曲线上方）等价定义：机动目录上页下页返回结束关于函数凹凸性的判定,有下面的结论：定理1设函数f在区间I上可导，则f在区间I上下凸（上凸）的充要条件是f´(x)在区间I上单调增加（减少）证明：令则机动目录上页下页返回结束必要性：若f是下凸函数，由定义有机动目录上页下页返回结束令得：机动目录上页下页返回结束充分性：设单调增加，对函数分别在区间上用拉格朗日中值定理得：存在机动目录上页下页返回结束定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是下凸的;(2)在I内则在I内图形是上凸的.证:利用一阶泰勒公式可

3、得两式相加说明(1)成立;(2)机动目录上页下页返回结束设函数在区间I上有二阶导数证毕例1.判断曲线的凸性.解:故曲线在上是下凸的.机动目录上页下页返回结束例2.判断曲线的凸性.解:故曲线在内是上凸的.在内是下凸的.曲线凸性的分界点称为拐点定义2：设内的点，如果曲线在点的左右两侧凸性相反，则称点为此曲线的拐点.注意：拐点是曲线上的点，不能说是拐点。与极值点不一样。机动目录上页下页返回结束例3.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.下凸上凸机动目录上页下页返回结束说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点

4、的定义,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动目录上页下页返回结束求拐点的步骤见教材P162.例4.求曲线的上（下）凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)列表判别故该曲线在及下凸,向上凸,点(0,1)及均为拐点.下凸下凸上凸机动目录上页下页返回结束例5：证明不等式证明：设则当时，有即上述f（t）为下凸函数，于是对任意有：例5.4例5.5无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义3.若曲线C上的点M沿着曲线

5、无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”机动目录上页下页返回结束1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回结束2.斜渐近线斜渐近线若机动目录上页下页返回结束例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.机动目录上页下页返回结束三、函数的作图步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点

6、,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周机动目录上页下页返回结束例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动目录上页下页返回结束例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于

7、y轴.2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动目录上页下页返回结束思考与练习1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示:机动目录上页下页返回结束思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B2.设在机动目录上页下页返回结束P1681（3，6）；2;3；5（1，3）6（3，4）；7（2）作业第七节目录上页下页返回结束备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:令y=tx,代入原

8、方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动目录上页下页返回结束笛卡儿叶形线参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线证明：备用题机动目录上页下页返回结束令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.机动目录上