《函数单调性与导数》PPT课件

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1、函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）．函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+uv/.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时函数单调性判定单调函数的图象特征yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数

2、；若f(x)在G上是增函数或减函数，增函数减函数则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

3、解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即<0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.y’=2x-4aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.一般地,函数y=f(x)在某个区间（a，b）内,如果>0,那么函数y=f(x)

4、在这个区间内是增函数;如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间内是减函数.一.单调性与导数的关系:例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:由2x-2>0,解得x>1,因此,当时,f(x)是增函数;令2x-2<0,解得x<1,因此,当时,f(x)是减函数.例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1

5、3)内是减函数.10331yx我们可以利用单调区间画出函数的大致图象.二.利用导数求函数单调性的步骤:(1):求导数(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).将图中t与h换成h和V对应的图是哪一个呢?解:函数的定义域是(-1,+∞),f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x<-1或x>1.注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1

6、的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.三、综合应用:例4:求函数的单调区间:例5:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和练习2P321.2.3.4五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定

7、义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.3.注意在某一区间内>(<)0只是函数f(x)在该区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上.4.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.