《几何应用》PPT课件(I)

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1、四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则微元机动目录上页下页返回结束边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点机动目录上页下页返回结束解法2:由得交点例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束S1S2阴影面积可以以x为变量来求：例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程

2、应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程若y>=0,且当x由a变到b时，t由则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束给出时,例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束极坐标：在 平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴，对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).这样建立的坐标系叫做极坐标系.ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标.极点O和直角坐标系的原点且极轴Ox与直角

3、坐标系的x轴重合时,极坐标(ρ,θ)与直角坐标(x,y)建立一一对应关系.2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束交点？例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:定义域？交点？二、平面曲线的弧长

4、定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)机动目录上页下页返回结束则称注：一阶导数连续的曲线称为光滑曲线。(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束二、平面曲线的弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长机动目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):机动目录上页下页返回结束例.计算摆线一拱的弧长.解:机动目录上页下页返回结束例

5、.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:小结目录上页下页返回结束例10.求连续曲线段解:的弧长.机动目录上页下页返回结束直角坐标方程,找定义域,代公式三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则

6、特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注目录上页下页返回结束计算时注意积分方法和特殊性质的运用！柱壳体积说明:柱面面积机动目录上页下页返回结束例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三

7、角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.机动目录上页下页返回结束思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:机动目录上页下页返回结束垂直x轴的截面是椭圆例17.计算由曲面所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当a=b=c时就是球体体积.机动目录上页下页返回结束的体积.内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方