数学问题解决的一条有效途径 特征分析法

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1、数学问题解决的一条有效途径特征分析法数学问题解决的一条有效途径-特征分析法2011年10月04日　　解决数学问题的关键在于恰当地转化，即将原数学问题转化成另一个较易解决的新问题，而转化的关键在于抓住问题的特征，并由此进行分析、变换、联想、构造。所谓特征，就是指能反映问题的条件与结论的内在联系的那些外形结构特点、数值特点、位置特点、差异特点等等。通过对问题特征的分析，寻求其特征蕴含的方法，从而使问题获解的思维方法，叫特征分析法。运用这种方法来实现问题的解决，往往可迅速获得问题解决的途径或简化问题解决的过程，收到事半功倍的效果，下面从四个方面加以阐述。　　1、外形结构特征分析　　

2、任何一个数学问题都是一个有机的数学小系统，这个小系统由其结构所决定，并且它的结构是相互联系的。善于洞察其外形结构特征，并加以分析、加工、转化，把抽象结构直观化，隐蔽结构明显化，复杂结构简单化，可使问题迅速、巧妙地获得解决。　　例1、已知a+b+c=1且a、b、c∈R+，求证：abc+。　　分析：结论两边的外形结构特征：两边均为两个互为倒数的式子之和，对这一特征分析，可构造函数f(x)=x+，并讨论其单调性来达到目的。设f(x)=x+，则不难证明f(x)在区间(0,　　1)上是单调减函数，又由平均值不等式可得abc≤()3=，所以f(abc)≥f()，于是原问题获解。　　例2、

3、求证：若对常数m和任意实数x，等式f(x+m)=成立，则f(x)是周期函数。　　分析：分析等式f(x+m)=的外形结构特征，令我们想到三角恒等式tan(x+)=，　　因此，正切函数y=tanx似乎是本问题的一个特殊模型。因y=tanx周期是π，恰为的4倍，由此猜想f(x)可能是以4m为周期的周期函数，明确了这一点，即寻求出本题的求解方法：　　∵f(x+2m)=f[(x+m)+m]=，　　∴f(x+4m)=f[(x+2m)+2m]=-=f(x)。　　故f(x)确是以4m为周期的函数。　　2、数值特征分析　　在许多数学问题中，常出现具有某种特征性的数值，若能抓住这些数值存在的规律

4、性、奇异性、特殊含义，并加以分析、联想，往往可迅速获得问题解决策略。　　例3、在△ABC中，可知2b=a+c，求证：　　(1)tan；　　(2)cosA+cosC-cosAcosC+sinAsincC为定值。　　分析：对(1)的探求并不困难，这里略。观察(2)，所求式结构中有一个数值“”，这个数值显得奇特，而且又不利于公式的运用。然而联系(1)式启发思考，可用tantan来替代这个奇特数“”，结果会怎样呢？尝试后果然寻求出其独特的解法：　　原式=cosA+cosC-cosAcosC+tan·tansinAsinC　　=cosA+cosC-cosAcosC+·sinAsinC=

5、1(为定值)。　　例4、已知点A(-2，)，设F为椭圆+=1的右焦点，M为椭圆上一动点，求

6、AM

7、+2

8、MF

9、的最小值，并求出此时点M的坐标。　　分析：如果利用建立目标函数来求

10、AM

11、+2

12、MF

13、的最小值，用常规方法求解较繁。但若能对

14、AM

15、+2

16、MF

17、中的数值“2”进行分析，它是否还有其特殊含义呢？椭圆中是否有与“2”有关的性质呢？不难探求出“2”就是，联想到椭圆定义，2

18、MF

19、就是M到右准线的距离，于是AM与MN共线时(如图1)，即M(2，)时，

20、AM

21、+2

22、MF

23、最小，最小值为

24、AN

25、=2+8=10。　　此题中“2”的特征含义对问题的解决太重要了，它就是此题解法思路的导

26、火线。　　3、位置特征分析　　与图形相关的一些数学问题，若能仔细分析某些关键点和线的位置特征，对于探求问题解决途径或优化解决问题的过程往往有很大帮助。　　例5、函数f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(2+x)，若方程f(x)=0恰好有四个不同的实根，则这四个根的和是()　　A、0B、2C、4D、6E、8　　分析：由题设无法求得f(x)，因而不能直接用解方程f(x)=0来求四个根的和，设法通过对问题蕴含的图形位置特征进行分析：即由f(x+a)=f(a-x)可知f(x)的图象关于直线x=a对称，得f(x)的图象关于直线x=2对称。于是x3=2×2-x2=4-x2，　　∴x2

27、+x3=4，同理x1+x4=4，　　因而x1+x2+x3+x4=8，故应选答案(E)。　　例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1之中点，求直线A1B1与A1ECF所成角的大小(如图2)。　　分析：若盲目地过B1点作平面A1EOF的垂线，将使图形复杂甚至造成错觉。注意到图中∠B1A1E=∠B1A1F这个特征，就知道点B1在平面A1ECF上的射影必在∠EA1F的平分线上，又因四边形A1ECF是菱形，对角线A1C平分∠EA1F，做∠CA1B1即为A1B1与平面A1ECF所成的角