《习题课3上课》PPT课件

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1、主要内容1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、泰勒中值定理一、中值定理二、洛必达法则三、导数的应用(1)函数单调性的判定法(2)函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件、第二充分条件的推广。求极值的步骤:(3)最大值、最小值问题(4)曲线的凹凸与拐点(5)函数图形的描绘(6)弧微分，曲率，曲率半径例1证明方程至少有一实根在(0,1)内典型例题[分析]如令则的符号不易判别，不便使用介值定理。下面用Rolle定理来证。证令则且故由Rolle定理知即在(0,1)内有一实根练习1设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证

2、:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即练习2.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为(03考研)试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在例2设在上可导,且证明f(x)至多只有一个零点.例3设内可导,且证明至少存在一点使上连续,在在证:设则故在上连续单调递增,从而至多只有一个零点.又因因此也至多只有一个零点.练习设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上

3、满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点例5例4且试证存在练习证不妨设由Lagrange定理，有得单调增区间为;例6填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为..在区间上是凸弧;拐点为形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,例7求极限(1)(3)求(4)(5)f(x)二阶可导,求极限(2)求例7(1)解(4)存在,且例8设且在上单调递减,证明对一切有练习：证:设则所以当令得即所证不等式成立.例9例10设函数f(x)具有一阶连续导数，（1）确定使处处连续。证明具有一阶连续导数。（2）存在，且f(0)=0,

4、例11设（1）讨论在处的连续性。取何值时取得极值。（2）例12问方程有几个实根解例13极大值拐点极小值例14且试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证