弹塑性问题的有限单元法

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1、第四章弹塑性问题的有限单元法第一节应力与应变分析第二节岩土介质弹塑性本构关系第三节非线性问题的有限元解法主要内容线弹性材料（ElasticMaterial）在外力作用下，材料的应力应变呈线性关系，并且在某一应力水平卸载后，材料恢复到原来的状态，即变形为零。Elasticimpliesthattheelementwillreturntoit'soriginalsizeandshapeonceallappliedloadsareremoved,ifnotstressedpastit'syieldpoint(y).岩土体材料（RockandSoil）岩土体

2、不是完全的线弹性体，应力应变很少呈线性关系，且当外力消除以后，往往有不可恢复的塑性变形。因此，本章考虑材料的非线性，主要讨论岩土体的弹塑性模型。Ifstressedpastit'syieldpoint(plasticrange),thematerialwilltakeapermanentsetandwillnotfullyreturntoit'soriginalsizeandshape,whenallloadsareremoved.第一节应力与应变分析一、一点的应力状态与应力张量二、应力张量的分解三、应力不变量四、主应力空间、平面与罗德（Lode）

3、角五、应变张量主要内容：一、一点的应力状态与应力张量应力张量可以采用分量记法，即用矩阵或张量下标表示任一点的6个应力分量：{σ}=[σx，σy，σz，τxy，τxz，τyz］T（3-1）式中i,j=x,y,z张量引入张量：0阶张量：30＝11阶张量：31＝32阶张量：32＝93阶张量：33＝27应力和应变是二阶张量标量矢量用二阶张量在x,y,z坐标系表示或写成：矩阵记法分量记法说明了张量的分量与坐标系的选取有关。（3-1）张量下标记法式中i,j=x,y,z应当注意：张量分量的矩阵记法与二维数组的区别。应力张量可以用其分量表示成3×3的对称方阵，而写

4、成矩阵形式3×3的二维数组却不一定是张量，更不一定是应力张量，只不过是按一定顺序排列的数组而已。二、应力张量的分解张量可以合成和分解应力张量分解为球张量和偏张量=+=+=+（3-2）物理意义应力张量的球张量分量——作用在该点的平均应力(σm)或静水压力(p)应力张量的偏斜分量——作用在该点的偏应力(si)和剪应力(sij)(i≠j)。张量分解在塑性理论中的意义在弹性力学中，应力球张量只产生弹性应变(应变球张量)，应力偏张量只产生弹性剪应变(应变偏张量)，本构关系非常简单。在金属塑性理论中假设体应变为弹性的，故体应变只有弹性分量而与塑性无关，剪应变有塑

5、性分量。将应力分解为球张量与偏张量，不仅使它们与体应变和剪应变之间的关系相互对应，而且可以简化本构关系的分析。即使在应力球张量与偏应变、应力偏张量与体应变发生耦合作用的岩土塑性本构关系理论中，将应力分解为球张量与偏张量，也便于分析它们对塑性体应变与剪应变的各自影响，从而建立相应的本构关系。三、应力不变量应力张量的分量表示法与坐标轴的选取有关，当进行一点应力状态分析或建立弹塑性本构关系时，如果能够找到与坐标系选取无关的应力不变量来表示，则将会简捷得多。下面就寻找这样的不变量。（一）应力张量不变量在弹性力学中已经证明，通过一点可以找到相互垂直的三个主平面

6、，在这些面上的剪应力为零。主平面上作用的正应力就称为主应力。主平面的方向称为主方向。对于一定的应力状态而言，主应力和主方向是不变的。现在直角坐标系中取一四面体，设斜面ABC是主平面，则作用于该面的法向应力即为主应力，如图3-2所示。（3-3）又设l、m、n代表主应力的方向余弦，l=cos(x，N)，m=cos(y，N)，n=cos(z，N)则主应力{σ}在三个坐标轴上的投影为px=σl,py=σm,pz=σn平衡方程ABOxyz{}NC图3-2四面体应力要使l、m、n有非零解，则必有（3-5）式(3-5)的三个根即为主应力σ1、σ2、σ3。该点的主

7、应力值不会因坐标选择而改变，因而I1、I2、I3的值也是不会改变的，它们分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。如果坐标轴方向与主应力方向一致，则（无剪应力）I1=σ1+σ2+σ3I2=-(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)I3=σ1σ2σ3(3-6)（3-5）（二）应力偏张量不变量应力偏张量Sij也有三个不变量J1=sx+sy+sz=0J2=-(sxsy+sysz+szsx)+s2xy+s2yz+s2zx=1/6(σx-σy)2+(σy-σz)2+(σz-x)2+6(τ2xy+τ2yz+τ2zx〕=1/2(s2x+s2y+s2z)+s2x

8、y+s2yz+s2zxJ3=sxsysz+2sxysyzszx-sxs2yz-sys2zx-szs2xy