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1、*第九节一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明二元函数的泰勒公式第九章一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式记号(设下面涉及的偏导数连续):一般地,表示表示定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.证:令则利用多元复合函数求导法则可得:一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:
2、(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上定理1例1.求函数解:的三阶泰勒公式.因此,其中时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以其中,,是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;
3、同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零此时因此作业P1231,3,4,5第十节不能断定(x0,y0)是否为极值点.
